Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades durch die Funktionsgleichung: f(x) = x^4-10/4x^2+9/16
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte von f(x) mit den Achsen des Koordinatensystems.
b) Bestimmen Sie die Hoch und Tiefpunkte des Funktionsgraphen
c) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen in einem geeigneten Koordinatensytem
c)
\(f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\)
a)
\(P_y \ (0;\frac{9}{16})\)
\(\color{red}x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}=0\\x^2=s\\s^2-2,5s+0,5625=0\\s=1,25\pm\sqrt{1,5625-0,5625}\\s=1,25\pm1\)
\(s_a=2,25\\s_b=0,25\\x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{s_{a,b}}\)
\(x_1=-\sqrt{2,25}\\\color{blue}x_1=-1,5\\x_2=-\sqrt{0,25}\\\color{blue}x_2=-0,5\)
\(x_4=\sqrt{2,25}\\\color{blue}x_4=1,5\\x_3=\sqrt{0,25}\\\color{blue}x_3=0,5\)
\({\large P_x}\\P_{x1}(-1,5\ ;\ 0)\ P_{x2}(-0,5\ ;\ 0)\\P_{x3}(0,5\ ;\ 0)\ P_{x4}(1,5\ ;\ 0)\)
b)
\(f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\f\ '(x)=4x^3-\frac{20}{4}x\\4x^3-\frac{20}{4}x=0\)
\(x_{max}=0\\y_{max} =0,5625\)
\({\large P_{max}}\ (0\ ;\ 0,5625)\)
\(f\ '(x)=4x^3-\frac{20}{4}x\\4x^3-\frac{20}{4}x=0\\x_{max}=0\\4x_{min}^2-\frac{20}{4}=0\\x_{min}^2=\frac{5}{4}\\\color{blue}x_{min}=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}\) durch x dividiert
\(f(x)=y_{min}=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\y_{min}=\frac{25}{16}-\frac{50}{16}+\frac{9}{16}=-\frac{16}{16}=-1\)
\(y_{min}=-1\)
\({\large P_{min1}}\ (-\frac{\sqrt{5}}{2}\ ;\ -1)\\{\large P_{min2}}\ (\frac{\sqrt{5}}{2}\ ;\ -1)\)
!
