Brauche Hilfe

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades durch die Funktionsgleichung: f(x) = x^4-10/4x^2+9/16

a) Berechnen Sie die Schnittpunkte von f(x) mit den Achsen des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Hoch und Tiefpunkte des Funktionsgraphen

c) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen in einem geeigneten Koordinatensytem

c)

$f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}$

a)

_{$P_y \ (0;\frac{9}{16})$}

_{$\color{red}x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}=0\\x^2=s\\s^2-2,5s+0,5625=0\\s=1,25\pm\sqrt{1,5625-0,5625}\\s=1,25\pm1$}

$s_a=2,25\\s_b=0,25\\x_{1,2,3,4}=\pm\sqrt{s_{a,b}}$

$x_1=-\sqrt{2,25}\\\color{blue}x_1=-1,5\\x_2=-\sqrt{0,25}\\\color{blue}x_2=-0,5$

$x_4=\sqrt{2,25}\\\color{blue}x_4=1,5\\x_3=\sqrt{0,25}\\\color{blue}x_3=0,5$

${\large P_x}\\P_{x1}(-1,5\ ;\ 0)\ P_{x2}(-0,5\ ;\ 0)\\P_{x3}(0,5\ ;\ 0)\ P_{x4}(1,5\ ;\ 0)$

b)

$f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\f\ '(x)=4x^3-\frac{20}{4}x\\4x^3-\frac{20}{4}x=0$

$x_{max}=0\\y_{max} =0,5625$

${\large P_{max}}\ (0\ ;\ 0,5625)$

$f\ '(x)=4x^3-\frac{20}{4}x\\4x^3-\frac{20}{4}x=0\\x_{max}=0\\4x_{min}^2-\frac{20}{4}=0\\x_{min}^2=\frac{5}{4}\\\color{blue}x_{min}=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}$ durch x dividiert

$f(x)=y_{min}=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\y_{min}=\frac{25}{16}-\frac{50}{16}+\frac{9}{16}=-\frac{16}{16}=-1$

$y_{min}=-1$

${\large P_{min1}}\ (-\frac{\sqrt{5}}{2}\ ;\ -1)\\{\large P_{min2}}\ (\frac{\sqrt{5}}{2}\ ;\ -1)$

  !

$\large Wendepunkte$

$\large P_W$

$f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\f\ '(x)=4x^3-5x\\f\ ''(x)=12x^2-5\\f\ '''(x)=24x$

$12x^2-5=0\\x_W=\pm\sqrt{\frac{5}{12}}=\pm 0,645497\\y_W=\frac{25}{144}-\frac{50}{48}+\frac{9}{16}=\frac{25-3\cdot 50+9\cdot 9}{144}=-\frac{44}{144}=-\frac{11}{36}=-0,30\overline{55}$

$\large{P_{W1}}\ (-0,645497\ ;\ -0,30\overline{55})\\\large{P_{W2}}\ (0,645497\ ;\ -0,30\overline{55})$ 

$f(x)=x^4-\frac{10}{4}x^2+\frac{9}{16}\\\color{red}f\ '(x)=4x^3-5x\\\color{green}f\ ''(x)=12x^2-5\\\color{black}f\ '''(x)=24x$

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