Wie bildet man aus der Funktion die Umkehrfunktion ?
f(x)=sqrt((2+2.5x)/0.95)+x
Die unabhängige Variable x wird mit der abhängigen Variablen y ausgetauscht.
x wird y. y wird x.
\(f(x)=y=\sqrt{\frac{2+2,5x}{0,95}}+x\)
Umkehren
\(x=\sqrt{\frac{2+2,5y}{0,95}}+y\)
\(x-y=\sqrt{\frac{2+2,5y}{0,95}}\)
\((y-x)^2=\frac{2+2,5y}{0,95} \)
\(0,95(y^2-2xy+x^2)=2+2,5y\\0,95y^2-1,9xy-2,5y+0,95x^2-2=0\\(0,95)y^2-(1,9x+2,5)y+(0,95x^2-2)=0\)
a b c
\(\large y = {(-b) \pm \sqrt{(b)^2-4(a)(c)} \over 2(a)}\)
\(\large y = {(1,9x+2,5) \pm \sqrt{(1,9x+2,5)^2-4\cdot (0,95)\cdot (0,95x^2-2)} \over 2\cdot (0,95)}\)
\(\large g(x)=y = {(1,9x+2,5) + \sqrt{(1,9x+2,5)^2-3,8\cdot (0,95x^2-2)} \over 1,9}\)
. Das ist die Umkehrfunktion.
\(\large g(x)=y = {(1,9x+2,5) - \sqrt{(1,9x+2,5)^2-3,8\cdot (0,95x^2-2)} \over 1,9}\)
\(f(x)=y=+\sqrt{\frac{2+2,5x}{0,95}}+x\)
. Das ist die Stammfunktion.
\(f(x)=y=-\sqrt{\frac{2+2,5x}{0,95}}+x\)
\(h(x)=y=x\) Im Graphen h(x)=x spiegeln sich Stamm- und Umkehrfunktion.
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