+15147 Hallo Freunde der kleinen Spinne!
In meiner Lösung vom 3.8.16 habe ich
einen Fehler im Funktionsansatz gemacht.
Hier kommt die Berichtigung.
Ich gehe von zwei linearen Funktionen aus.
Der Koordinatenursprung befindet sich
in der Masche links unten.
Schade, dass hier nicht die Möglichkeit besteht,
eine Skizze rüber zu bringen.
B ⇒ Breite der Masche
h1 ⇒ Höhe rechts (Ansatzpunkt des Fadens)
h2 ⇒ Höhe links (Ansatzpunkt des Fadens)
x ⇒ Abszisse des Schnittpunktes der Fäden
y = 35 mm ⇒ Ordinate des Schnittpunktes
87 mm ⇒ Länge Faden1
105 mm ⇒ Länge Faden2
\(f(1)\ 35= \frac{h1}{B} \times x\)
\(f(2)\ 35= \frac{h2}{B} \times x+ h2\)
\(h1= \sqrt{87^{2 }- B^{2} } \)
\(h2= \sqrt{105^{2 }- B^{2} } \)
\(y=35= \frac{\sqrt{87^{2}-B^{2} } }{B}\times x \)
\(x= \frac{35\times B}{\sqrt{87^{2} -B^{2} } } \)= y
\(y=35=- \frac{\sqrt{105^{2}-B^{2} } }{B}\times x + \sqrt{105^{2}-B^{2} }\)
\( x= \frac{35- \sqrt{105^{2}-B^{2} } }{- \sqrt{105^{2}- B^{2} } } \times B\)
\(\frac{35}{\sqrt{87^2}-B^2 } = \frac{35- \sqrt{105^2- B^2} }{- \sqrt{105^2- B^2} } \)
Manuell nicht lösbar. Deshalb Rechnerlösung.
Numerische Lösung nichtlinearer
Gleichungssysteme
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts
Eingegeben mit Startwert 80
-35/sqrt(87^2-B^2)
=(35-sqrt(105^2-B^2))/-sqrt(105^2-B^2)
Lösung im 1. Durchlauf
nach 7 Iterationen gefunden:
\(B= 63mm\)
Die Breite B der Masche
im Maschendrahtzaun ist
\(B= 63mm\)
\(h2= \sqrt{105^2-B^2} \)
\(h2= \sqrt{105^2-63^2} \)
\(h2= 84mm\)
Die Höhe der Masche
im Maschendrahtzaun ist
\(h2\geq 84mm\) .
Gruß asinus :- )
!
+211 Hallo Gast,
ich deute deine Frage mal als "Was ist die explizite Formel für \(a_n\)?"
1. Ausprobieren + Vollständige Induktion
Hierfür probieren wir zunächst die ersten Folgenglieder einfach durch:
| \(i\) | \(a_i\) |
|---|---|
| 1 | \(1=\frac{1}{2^0}\) |
| 2 | \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1} \) |
| 3 | \(\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3} \) |
| 4 | \(\frac{1}{128}=\frac{1}{2^7}\) |
| 5 | \(\frac{1}{32768}=\frac{1}{2^{15}}\) |
Nun stellen wir eine Vermutung an, was die explizite Formel ist. Es sieht doch so aus als wäre: \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\)
Ok, ich gebe zu, das ist nicht SO offensichtlich, aber man erkennt doch gut, dass der Exponent im Nenner immer eine 2er-Potenz minus 1 ist.
Die Richtigkeit dieser Formel gilt es nun noch zu beweisen:
Dass diese Formel für n=1 stimmt, lässt sich leicht ausprobieren. Wir zeigen nun: Gilt diese Formel für n, dann gilt sie auch für n+1.
Wir gehen also von \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\) aus und wollen zeigen, dass \(a_{n+1}=\frac{1}{2^{(2^n-1)}}\).
Es gilt: \(a_{n+1}=\frac{(a_n)^2*a_n}{2a_n}=\frac{(a_n)^2}{2}=\frac{ \left(\frac{1}{ 2^{(2^{n-1}-1)} }\right)^2 }{2} =\frac{ \frac{1}{ 2^{ (2^n-2) } } }{2}=\frac{1}{2^{2^n-1}}\)
Wir wissen, dass diese explizite Formel für 1 gilt, daher gilt sie auch für 1+1=2, deshalb auch für 2+1=3 und so weiter.
Die explizite Formel lautet also \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\).
Grüße
melwei
!
