Hallo Gast,
ich deute deine Frage mal als "Was ist die explizite Formel für ?"
1. Ausprobieren + Vollständige Induktion
Hierfür probieren wir zunächst die ersten Folgenglieder einfach durch:
1 | |
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4 | |
5 |
Nun stellen wir eine Vermutung an, was die explizite Formel ist. Es sieht doch so aus als wäre:
Ok, ich gebe zu, das ist nicht SO offensichtlich, aber man erkennt doch gut, dass der Exponent im Nenner immer eine 2er-Potenz minus 1 ist.
Die Richtigkeit dieser Formel gilt es nun noch zu beweisen:
Dass diese Formel für n=1 stimmt, lässt sich leicht ausprobieren. Wir zeigen nun: Gilt diese Formel für n, dann gilt sie auch für n+1.
Wir gehen also von aus und wollen zeigen, dass .
Es gilt:
Wir wissen, dass diese explizite Formel für 1 gilt, daher gilt sie auch für 1+1=2, deshalb auch für 2+1=3 und so weiter.
Die explizite Formel lautet also .
Grüße
melwei