Folge{1,^2,*}

Hallo Gast,

ich deute deine Frage mal als "Was ist die explizite Formel für $a_n$?"

 

1. Ausprobieren + Vollständige Induktion

Hierfür probieren wir zunächst die ersten Folgenglieder einfach durch:

$i$	$a_i$
1	$1=\frac{1}{2^0}$
2	$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$
3	$\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$
4	$\frac{1}{128}=\frac{1}{2^7}$
5	$\frac{1}{32768}=\frac{1}{2^{15}}$

 

Nun stellen wir eine Vermutung an, was die explizite Formel ist. Es sieht doch so aus als wäre: $a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}$

Ok, ich gebe zu, das ist nicht SO offensichtlich, aber man erkennt doch gut, dass der Exponent im Nenner immer eine 2er-Potenz minus 1 ist.

Die Richtigkeit dieser Formel gilt es nun noch zu beweisen:

 

Dass diese Formel für n=1 stimmt, lässt sich leicht ausprobieren. Wir zeigen nun: Gilt diese Formel für n, dann gilt sie auch für n+1.

 

Wir gehen also von $a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}$ aus und wollen zeigen, dass $a_{n+1}=\frac{1}{2^{(2^n-1)}}$.

 

Es gilt: $a_{n+1}=\frac{(a_n)^2*a_n}{2a_n}=\frac{(a_n)^2}{2}=\frac{ \left(\frac{1}{ 2^{(2^{n-1}-1)} }\right)^2 }{2} =\frac{ \frac{1}{ 2^{ (2^n-2) } } }{2}=\frac{1}{2^{2^n-1}}$

 

Wir wissen, dass diese explizite Formel für 1 gilt, daher gilt sie auch für 1+1=2, deshalb auch für 2+1=3 und so weiter.

 

Die explizite Formel lautet also $a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}$.

 

Grüße

melwei