+200 Hallo Gast,
ich deute deine Frage mal als "Was ist die explizite Formel für \(a_n\)?"
1. Ausprobieren + Vollständige Induktion
Hierfür probieren wir zunächst die ersten Folgenglieder einfach durch:
| \(i\) | \(a_i\) |
|---|---|
| 1 | \(1=\frac{1}{2^0}\) |
| 2 | \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1} \) |
| 3 | \(\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3} \) |
| 4 | \(\frac{1}{128}=\frac{1}{2^7}\) |
| 5 | \(\frac{1}{32768}=\frac{1}{2^{15}}\) |
Nun stellen wir eine Vermutung an, was die explizite Formel ist. Es sieht doch so aus als wäre: \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\)
Ok, ich gebe zu, das ist nicht SO offensichtlich, aber man erkennt doch gut, dass der Exponent im Nenner immer eine 2er-Potenz minus 1 ist.
Die Richtigkeit dieser Formel gilt es nun noch zu beweisen:
Dass diese Formel für n=1 stimmt, lässt sich leicht ausprobieren. Wir zeigen nun: Gilt diese Formel für n, dann gilt sie auch für n+1.
Wir gehen also von \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\) aus und wollen zeigen, dass \(a_{n+1}=\frac{1}{2^{(2^n-1)}}\).
Es gilt: \(a_{n+1}=\frac{(a_n)^2*a_n}{2a_n}=\frac{(a_n)^2}{2}=\frac{ \left(\frac{1}{ 2^{(2^{n-1}-1)} }\right)^2 }{2} =\frac{ \frac{1}{ 2^{ (2^n-2) } } }{2}=\frac{1}{2^{2^n-1}}\)
Wir wissen, dass diese explizite Formel für 1 gilt, daher gilt sie auch für 1+1=2, deshalb auch für 2+1=3 und so weiter.
Die explizite Formel lautet also \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\).
Grüße
melwei
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