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\(a_0=1 \wedge a_n=\frac{(a_{n-1})^2a_{n-1}}{2a_{n-1}}\)

Guest 26.06.2016
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Hallo Gast,

ich deute deine Frage mal als "Was ist die explizite Formel für \(a_n\)?"

 

1. Ausprobieren + Vollständige Induktion

Hierfür probieren wir zunächst die ersten Folgenglieder einfach durch:

\(i\) \(a_i\)
1 \(1=\frac{1}{2^0}\)
2 \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1} \)
3 \(\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3} \)
4 \(\frac{1}{128}=\frac{1}{2^7}\)
5 \(\frac{1}{32768}=\frac{1}{2^{15}}\)

 

Nun stellen wir eine Vermutung an, was die explizite Formel ist. Es sieht doch so aus als wäre: \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\)

Ok, ich gebe zu, das ist nicht SO offensichtlich, aber man erkennt doch gut, dass der Exponent im Nenner immer eine 2er-Potenz minus 1 ist.

Die Richtigkeit dieser Formel gilt es nun noch zu beweisen:

 

Dass diese Formel für n=1 stimmt, lässt sich leicht ausprobieren. Wir zeigen nun: Gilt diese Formel für n, dann gilt sie auch für n+1.

 

Wir gehen also von \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\) aus und wollen zeigen, dass \(a_{n+1}=\frac{1}{2^{(2^n-1)}}\).

 

Es gilt: \(a_{n+1}=\frac{(a_n)^2*a_n}{2a_n}=\frac{(a_n)^2}{2}=\frac{ \left(\frac{1}{ 2^{(2^{n-1}-1)} }\right)^2 }{2} =\frac{ \frac{1}{ 2^{ (2^n-2) } } }{2}=\frac{1}{2^{2^n-1}}\)

 

Wir wissen, dass diese explizite Formel für 1 gilt, daher gilt sie auch für 1+1=2, deshalb auch für 2+1=3 und so weiter.

 

Die explizite Formel lautet also \(a_n=\frac{1}{2^{(2^{n-1}-1)}}\).

 

Grüße

melwei

melwei  03.08.2016

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