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\sum _{ i\quad =\quad 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ i } } }

Guest 04.08.2016
 #1
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http://de.numberempire.com/seriescalculator.php

Omi67  04.08.2016
 #2
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\sum _{ i\quad =\quad 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ i } } }

 

laugh

Omi67  04.08.2016
 #3
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Hallo Gast, hallo Omi67,

man kann das sogar noch allgemeiner sagen:

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{x^i}=\frac{x}{x-1} \end{align*}\)

 

Einen Beweis dafür kann ich dir leider nicht angeben, aber für \(x = 2\) schon:

Wir betrachten die Summe der ersten n Elemente und erhalten durch erweitern:

\(\begin{align*} \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}=\frac{\sum_{i=0}^{n}2^i}{2^n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n}=2-\frac{1}{2^n} \end{align*}\)

Wenn n gegen unendlich geht, geht \(-\frac{1}{2^n}\) gegen 0, da der Nenner unendlich wird.

 

Grüße

melwei

melwei  05.08.2016
 #4
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Unendliche Geometrische Reihe

\(\sum \limits_{i =0}^{\infty} { \dfrac { 1 }{ 2^i } } =\ ?\)

 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \text{Unendliche Geometrische Reihe} \\ s &=& a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \dots \\ s &=& a_0 + a_0\cdot q + a_0\cdot q^2 + a_0\cdot q^3 + a_0\cdot q^4 + a_0\cdot q^5 + \dots \\ s &=& 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots \\ \hline \end{array} \)

 

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient q zweier benachbarter Folgenglieder konstant.
\(\begin{array}{|lcll|} \hline q = \frac{a_1}{a_0} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac12 \\ \hline \end{array}\)

 

\(\begin{array}{|lcll|} \hline a_0 = 1 \\ \hline \end{array}\)

 

Die Summe einer unendlichen Geometrischen Reihe:
\(\begin{array}{|lcll|} \hline s &=& \dfrac{a_0}{1-q} \qquad |q| < 1 \\ \hline \end{array}\)

 

\(\begin{array}{|lcll|} \hline s &=& \dfrac{a_0}{1-q} \qquad q = \frac12 \qquad a_0 = 1 \\ s &=& \dfrac{1}{1-\frac12} \\ s &=& \dfrac{1}{\frac12} \\ \mathbf{s} & \mathbf{=} & \mathbf{2} \\ \hline \end{array}\)

 

laugh

heureka  05.08.2016
 #5
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Hallo Heureka,

wahlweise auch erzeugende Funktion \(\begin{align*} \sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i \end{align*}\).

Für \(a_i=1, |x|<1\) ist immer \(A=\frac{1}{1-x}\). \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow A=2\).

 

Grüße

melwei

melwei  05.08.2016

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