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 #4
avatar+12531 
+5

.
28.05.2015
 #3
avatar+26404 
+5

Mit welcher Formel kann man den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger bei gegebener Uhrzeit berechnen ?

$$\boxed{~ \Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330 \cdot t^h ~
}\qquad
\small{\text{ $t$ ist die Zeit in Stunden} }$$  

 

1. Beispiel:

Uhrzeit 2:27 Uhr

$$t^h = 2+\frac{27}{60} = 2,45~ \rm{h}\\\\
\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 2,45 \rm{h} = 808,5\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 808,5\ensurement{^{\circ}} - 2\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 88,5\ensurement{^{\circ}}$$

 

2. Beispiel:

Uhrzeit 6:45:20 Uhr

$$t^h = 6+ \dfrac{ 45~\rm{Min.} +
\dfrac{ 20~\rm{Sek.} } {60} } { 60 } = 6,7\overline{5}~ \rm{h}\\\\
\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 330\ensurement{^{\circ}} \cdot 6,7\overline{5}~ \rm{h} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

Vom Winkel muss ein Vielfaches von $$360\ensurement{^{\circ}}$$ abgezogen werden:

$$\Delta \alpha \ensurement{^{\circ}} = 2229,\overline{3}\ensurement{^{\circ}} - 6\cdot 360 \ensurement{^{\circ}} = 69,\overline{3}\ensurement{^{\circ}}$$

 

3. Herleitung:

$$\\\small{\text{
Winkelgeschwindigkeit gro\ss{}er Zeiger:~}}
\omega_1\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}\\\\
\small{\text{
Winkelgeschwindigkeit kleiner Zeiger:~}}
\omega_2\ensurement{^{\circ}} = \frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}\\\\
\boxed{ \small{\text{Winkel = Winkelgeschwindigkeit mal Zeit}} }
}\\\\
\small{\text{
Winkel gro\ss{}er Zeiger:~}}
\alpha_1\ensurement{^{\circ}} =\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\
\small{\text{
Winkel kleiner Zeiger:~}}
\alpha_2\ensurement{^{\circ}} =\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h }}\\\\
\small{\text{
Winkeldifferenz gro\ss{}er Zeiger - kleiner Zeiger:~}}
\alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}} = \Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} }}\\\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\alpha_1 \ensurement{^{\circ}} - \alpha_2 \ensurement{^{\circ}}
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\omega_1\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h
-\omega_2\ensurement{^{\circ}} \cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} = \left(
\omega_1\ensurement{^{\circ}}
-\omega_2\ensurement{^{\circ}} \right)
\cdot t^h
$}}\\\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\left(
\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {1~\rm{Std.}}
-\frac{ 360\ensurement{^{\circ}} } {12~\rm{Std.}}
\right)
\cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
\left(360\cdot \frac{11}{12} \right)
\cdot t^h
$}}\\
\small{\text{
$
\Delta \alpha\ensurement{^{\circ}} =
330\cdot t^h
$}}$$

.
28.05.2015
27.05.2015
 #2
avatar+12531 
0

.
27.05.2015
 #2
avatar+225 
0

ALLGEMEIN 

27.05.2015
 #2
avatar+26404 
+8

$$\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot
\left(
\sqrt{n^2+1}-n
\right)
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot
\left(
\sqrt{\frac{n^2}{n^2}\cdot(n^2+1)}-n
\right)
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot
\left(n\cdot
\sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} }-n
\right)
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot n\cdot
\left(
\sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} }-1
\right)
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot n\cdot
\left(
\sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } - 1
\right) \dfrac{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \sqrt{n}\cdot n\cdot
\left(
1+\frac{1}{n^2} - 1^2
\right) \dfrac{ 1 }
{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty }
\dfrac{ \sqrt{n}\cdot n } { n^2 } \cdot
\dfrac{ 1 } { \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty }
\dfrac{ \dfrac{ \sqrt{n} } { n } }
{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty }
\dfrac{ \sqrt{ \dfrac{ n } { n^2 } } }
{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}$$

$$\\=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty }
\dfrac{ \sqrt{ \dfrac{ 1} { n } } }
{ \sqrt{ 1+\frac{1}{n^2} } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty }
\dfrac{ \sqrt{ \dfrac{ 1} { n } } }
{ \sqrt{ 1+ (\frac{1}{n})^2 } + 1 }
$}} \qquad | \qquad
\boxed{~
\lim \limits_{n \rightarrow \infty } \dfrac{1}{n}=0~}\\\\
=
\small{\text{
$ \dfrac{ \sqrt{0} }
{ \sqrt{ 1 + 0^2 } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$ \dfrac{ 0 }
{ \sqrt{ 1 } + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$ \dfrac{ 0 }
{ 1 + 1 }
$}}\\\\
=
\small{\text{
$ \dfrac{ 0 }
{ 2 }
$}}\\\\
=
\small{\text{$ 0 $}}$$

.
27.05.2015
 #1
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27.05.2015

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