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Um welche Gleichung handelt es sich denn? Es gibt verschiedene Äquivalenzumformungen, die je nach der spezifischen Gleichung angewendet werden können, um sie zu vereinfachen oder zu lösen. Einige der gängigsten Äquivalenzumformungen sind:

- Addition oder Subtraktion von gleichen Werten auf beiden Seiten der Gleichung

- Multiplikation oder Division von beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl oder einem Term

- Anwenden von Potenzregeln, wie z.B. Potenzieren beider Seiten mit derselben Potenz oder Anwenden von Wurzelregeln

- Anwenden von Logarithmusregeln, um Gleichungen mit Variablen im Exponenten zu lösen

Je nach der spezifischen Gleichung kann eine dieser oder eine andere Äquivalenzumformung als erste Schritt verwendet werden. Wenn Sie die Gleichung teilen können, können Sie die Brüche auf die eine oder andere Seite der Gleichung bringen, um sie weiter zu vereinfachen. Wenn Sie uns die Gleichung nennen, können wir Ihnen vielleicht sagen, welche Äquivalenzumformung am besten geeignet ist, um damit zu beginnen.

Zunächst können wir die Gleichung vereinfachen, indem wir die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung reduzieren:

\(34^{x-3} + 57^{x-3} = 2^{2x-4}\)

\(3*(2^2)^{x-3} + 5*(7^1)^{x-3} = 2^{2x-4}\)

\(32^{2(x-3)} + 57^{x-3} = 2^{2x-4}\)

\(32^{2x-6} + 57^{x-3} = 2^{2x-4}\)

Nun haben wir eine Gleichung, die nur noch Potenzen von 2 und 7 enthält. Da es keine offensichtliche Möglichkeit gibt, beide Seiten der Gleichung auf die gleiche Basis zu bringen, müssen wir eine andere Methode anwenden.

Eine Möglichkeit besteht darin, eine numerische Methode wie das Newton-Raphson-Verfahren anzuwenden, um eine numerische Näherungslösung zu finden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung graphisch zu lösen, indem man die beiden Funktionen \(y = 32^{2x-6} + 57^{x-3}\) und \(y = 2^{2x-4}\) zeichnet und die Schnittpunkte findet.

Da eine geschlossene Formel für die Lösung nicht existiert, kann man auch ein numerisches Verfahren anwenden, um eine Approximation der Lösung zu finden. Zum Beispiel kann man eine Methode wie das Bisektionsverfahren oder das Newton-Raphson-Verfahren verwenden, um eine Näherungslösung zu finden.

Um die gemeinsamen Faktoren herauszuheben, müssen wir die größte gemeinsame Zahl und die gemeinsamen Variablen und Potenzen identifizieren. In diesem Fall können wir 7 und a² sowie 2 und b herausheben, da sie alle in jedem Term vorhanden sind:

\(7a² - 14ab + 21b² = 7 * a² * (1 - 2b + 3b²)\)

Daher können wir den Term als das Produkt von 7, a² und der Klammer ausdrücken: \(7a²(1 - 2b + 3b²)\).

Um die Selbstkosten für ein Stück Kuchen zu berechnen, müssen wir zunächst die Gesamtkosten für alle 13 Kuchen berechnen. Dann teilen wir diese Gesamtkosten durch die Anzahl der Kuchenstücke (13 Kuchen * 8 Stücke pro Kuchen = 104 Stücke), um den Selbstkostenpreis pro Stück zu erhalten.

A) Gesamtkosten für 13 Kuchen: 62.40 Fr.

Kosten pro Kuchen: 62.40 Fr. / 13 Kuchen = 4.80 Fr. pro Kuchen

Kosten pro Stück: 4.80 Fr. pro Kuchen / 8 Stücke pro Kuchen = 0.60 Fr. pro Stück

Die Selbstkosten für ein Stück Kuchen betragen somit 0.60 Fr.

B) Um den Gewinn zu berechnen, müssen wir die Einnahmen (Verkaufspreis) von den Ausgaben (Selbstkosten) abziehen. Der Gesamtumsatz ergibt sich durch Multiplikation der Anzahl der Kuchenstücke (104) mit dem Verkaufspreis (3.00 Fr. pro Stück).

Gesamteinnahmen: 104 Stücke * 3.00 Fr. pro Stück = 312.00 Fr.

Gewinn: 312.00 Fr. - 62.40 Fr. = 249.60 Fr.

Der Gewinn beträgt somit 249.60 Fr.

Der Gewinn in Prozent lässt sich wie folgt berechnen:

Gewinn in Prozent = (Gewinn / Einnahmen) * 100%

Gewinn in Prozent = (249.60 Fr. / 312.00 Fr.) * 100% = 80%

Der Gewinn beträgt also 80% der Einnahmen.

Ich setze mal d) und e) fort.

d) Um den Winkel zu berechnen, bei dem das Projektil die höchste und niedrigste Entfernung zurücklegt, müssen wir die Formel für die maximale Wurfweite verwenden:

\(R = (v^2/g) * sin(2θ)\)

wobei R die Wurfweite, v die Anfangsgeschwindigkeit, g die Erdbeschleunigung und θ der Winkel ist.

Um die höchste Entfernung zu erreichen, muss der Winkel 45 Grad betragen, also θ = 45°. Um die niedrigste Entfernung zu erreichen, müssen wir den Winkel auf 0 oder 90 Grad setzen. In diesen Fällen wird das Projektil senkrecht nach oben oder unten abgeschossen, und die Entfernung beträgt 0.

e) Um die benötigte Kraft zu berechnen, um eine Anfangsgeschwindigkeit von 300, 500 und 1000 m/s zu erreichen, verwenden wir die Formel für kinetische Energie:

\(E = 1/2 * m * v^2\)

Setzen wir die gegebenen Werte für die Geschwindigkeit ein und nehmen an, dass die Masse des Projektils konstant bleibt (8,65 g), können wir die benötigte Energie berechnen:

Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 300 m/s: \(E = 1/2 * 0,00865 kg * (300 m/s)^2 = 369,225 J\)

Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 500 m/s:\( E = 1/2 * 0,00865 kg * (500 m/s)^2 = 1081,5625 J\)

Für eine Anfangsgeschwindigkeit von 1000 m/s: \(E = 1/2 * 0,00865 kg * (1000 m/s)^2 = 4326,25 J\)

Diese Energie muss von der Luftpistole bereitgestellt werden, um das Projektil mit der gewünschten Geschwindigkeit zu beschleunigen.

Falls ich irgenwelche Fehler gemacht habe, sag mir bescheid!

Übrigens, wie machst du bei LaTeX die Schriftfarbe blau?

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Und übrigens: Ich bin kein Sportschütze, sondern interresiere mich für dieses Thema.

Schönes Wochenende!

\(x+x\cdot 250\%=Fr\ 1484\\ x+2,5x=Fr\ 1484\\ 3,5x=Fr\ 1484\\ x=\color{blue}Fr\ 424\)

Fr 424 hat sie beim Einkauf dieser Uhr bezahlen müssen.

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\(x-x\cdot15\%=Fr\ 3700 \\ 0,85x=Fr\ 3700\\ x=\color{blue}Fr\ 4352,94\)

Der Flachbildfernseher darf maximal mit Fr 4352,94 angeschrieben sein.

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Flugzeit

\(t=\dfrac{0,5v\cdot 2}{g}=\dfrac{192,339m\cdot s^2}{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue }t_{160}=19,612s\)

Entfernung

\(s=v\cdot t\cdot cos\ 30^\circ\\ s=192,339m/s\cdot 19,612s\cdot cos\ 30^\circ\\ \color{blue}s_{160}=3266,84m \)

Facit: Die Die Auftreffentfernung ist direkt proportional zur Mündungsenergie.

c) Das Projektil ist nicht aus Zinn (ρ = 7,3g/cm^3) sondern aus Wolfram (ρ = 19,25g/cm^3).

\(m_{Sn}:m_W=7,3:19,25\\ 8,65g:m_W=7,3:19,25\\ m_W=\dfrac{8,65g\cdot 19,25}{7,3}\\ \color{blue}m_W=22,81g\)

\(Der\ Index\ _W\ steht f\ddot ur\ Wolfram.\)

Anfangsgeschwindigkeit

\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ v_W=\sqrt{\dfrac{2E}{m_W}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot16J}{22,81g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_W=37,455\ m/s\)

Flugzeit

\(\dfrac{g}{2}t^2-v_W\cdot sin\ 30^\circ \cdot t=0\\ {\color{blue}(\dfrac{g}{2}t-v_W\cdot sin\ 30^\circ )}\cdot t=0\\ t_W=\dfrac{2\cdot v_W\cdot sin\ 30^\circ }{g}=\dfrac{2\cdot 37,455m\cdot sin\ 30^\circ\cdot s^2 }{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue}t_W=3,819s\)

Entfernung

\(s_W=v_W\cdot t_W\cdot cos 30^\circ \\ s_W=37,455m/s\cdot 3,819s\cdot cos 30^\circ \\ \color{blue}s_W=133,844\ m\)

d) Wie groß muss der Winkel sein, damit das Projektil die größte Auftreffentfernung erzielt?

\(s=v\cdot t\cdot sin\ 30^\circ\)

Pause. Wird fortgesetzt!

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Pistolenschuss

Hi Mathefreaker!

Ich nehme an, dass die der Luftdruckpistole zugeordnete Energie, beim Abschuss voll auf das Geschoss übertragen wird. Der Strömungswiderstand vom Geschoss ist vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängig. Da die Geschwindigkeit, also auch der Strömungswiderstand, während des Fluges abnimmt (berechenbar), wird die Berechnung für mich zu kompliziert (Differenzialgleichung).

Die Beantwortung deiner Fragen erfolgt deshalb ohne Berücksichtung des Strömungswiderstands.

a) Entfernung, die das Projektil erreichen wird.

Anfangsgeschwindigkeit

\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ 16J=\dfrac{8,65g\cdot v^2}{2}\\ v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 16J}{8,65g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_{16}=60,823\ m/s \)

Flugzeit

Die in der Zeit t erreichte Höhe ist gleich der Fallstrecke des Geschosses.

\(h=v\cdot t\cdot sin \ 30^\circ=\frac{g}{2}t^2\\ \frac{g}{2}t^2-v\cdot t\cdot 0,5=0\\ (\frac{g}{2}t-0,5v)\cdot t=0\\ \frac{g}{2}t-0,5v=0\\ t=\dfrac{0,5v\cdot 2}{g}=\dfrac{60,823m\cdot s^2}{s\cdot 9,807m}\\ \color{blue }t=6,202s\)

Entfernung

\(s=v\cdot t\cdot cos\ 30^\circ=\dfrac{60,823m\cdot 6,202s\cdot cos\ 30^\circ}{s}\\ \color{blue}s=326,684m\)

Erstmal Pause. Wird aber fortgesetzt. Übrigens, bist Du Sportschütze?

b) Was wäre, wenn die Luftpistole 160 Joule hätte?

\(E=\dfrac{mv^2}{2}\\ v_{160}=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 160J}{8,65g}\cdot \dfrac{kg\cdot m^2}{J\cdot s^2}\cdot \dfrac{1000g}{kg}}\\ \color{blue}v_{160}=192,339\ m/s\)

Wieviel ist 196/1000 von 1,5 Millionen?

\(\dfrac{196}{1000}:(1,5\cdot 10^6)=x:100\%\\ \dfrac{196\cdot 100\%}{1000}=1,5\cdot 10^6\cdot x\\ x=\dfrac{196\cdot 100\%}{1000\cdot 1,5\cdot 10^6}\\ \color{blue}x=130,6\overline 6\cdot 10^{-7}\%=0.00001306\overline6\%\)

 \(0,196\ von\ 1,5\ Millionen\ sind\ \color{blue}0.00001306\overline6\%\)

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 2 oder 4 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu würfeln beträgt 1/6, ebenso ist die Wahrscheinlichkeit eine 4 zu würfeln ebenfalls 1/6. Von den sechs Seiten stellen also zwei Seiten das gewünschte Ergebnis dar. Damit beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 2/6.

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Bitte nenne die Gleichung.

Wie kan ich ein LGS lösen?

Hallo Gast!

Wenn du uns ein LGS nennen würdest, könnte am Beispiel gezeigt werden, wie das LGS zu lösen wäre.

So kann ich nur auf diesen Link verweisen, wo es allgemein beschrieben wird:

\(\color{blue}f(x)=\dfrac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x^{2}-3 x+2}\)

\(wenn\ x=1\to\ f(x)=\frac{0}{0}\\ ist\ x<1\to f(x)\ strebt\ gegen\ -\infty\\ ist\ x>1\to f(x)\ strebt\ gegen\ \infty\\ dann\ ist\ f(x) \ dort\ undefiniert\ und\ unstetig.\)

\(wenn\ x=2\to f(x)=\frac{0}{0}\\ ist\ x<2\to f(x)\ strebt\ gegen\ 6\\ ist\ x>2\to f(x)\ strebt\ gegen\ 6\\ also\ ist\ f(x)\ dort \ stetig.\)

\(f(2)=6\ ?\)

Nicht sicher.

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Brüche mit Bruchstrich lassen sich gut mit  der Schriftsprache \(L^A T_EX\) darstellen.

Dazu der Link:

\(x=\sqrt{81}\\ x\in \{9\}\\ z=\pm \sqrt{81}\\ z\in \{-9;9\} \)

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die quadratwurzel von 81 ist 9.