Ganzrationale Funktionen dritten Grades
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1. Funktion mit Wendepunkt im Koordinatenursprung
Liegt der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Koordinatenursprung, dann liegt der Hochpunkt zentral-spiegelblldlich gegenüber dem Tiefpunkt.
Pt(1;-2) Pw(0;0) Ph(-1;2)
Die 1. Ableitung der Funktion ist eine nach oben offene Parabel mit den Nullpunkten
P1(-1;0) und P2(1;0).
f(x)=a(x+1)(x−1)=a(x2−1)
a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.
Die Stammfunktion ist dann
f(x)=∫a(x2−1)dxf(x)=a(13x3−x+C)
Der Wendepunkt der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.
Der Maximumpunkt Ph(-1;2) eingesetzt ergibt:
f(x)=a(13x3−x+0)2=a(13⋅(−1)3−(−1))a=20.¯6a=3
Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist
f(x)=3(13x3−x+0)f(x)=x3−3x
2. Ganzrationale Funktion mit Extremum im Ursprung P1(0;0) und im Punkt P2(2;4).
Die 1. Ableitung der gesuchten Funktion ist eine nach unten offene Parabel mit den Nullstellen x1=0 und x2=2.
f′(x)=−ax(x−2)=a(−x2+2x)
a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.
Die Stammfunktion ist dann
f′(x)=a⋅∫(−x2+2x)dxf(x)=a⋅(−13x3+x2+C)
Das Minimum der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.
Der Maximumpunkt P2(2;4) eingesetzt ergibt:
f(x)=a⋅(−13x3+x2+C)4=a⋅(−13⋅23+22+0)a=41.¯3a=3
Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist
f(x)=a⋅(−13x3+x2)=3⋅(−13x3+x2)f(x)=−x3+3x2
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