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Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt P(1 |-2), deren
Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt
P(2|4) jeweils ein Extremum.

 

kann mir bitte jemand bei den Aufgaben helfen? - danke

 02.02.2023
 #1
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Ganzrationale Funktionen dritten Grades 

 

Hallo Gast!

 

1. Funktion mit Wendepunkt im Koordinatenursprung

 

Liegt der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Koordinatenursprung, dann liegt der Hochpunkt zentral-spiegelblldlich gegenüber dem Tiefpunkt.

Pt(1;-2)    Pw(0;0)    Ph(-1;2)

Die 1. Ableitung der Funktion ist eine nach oben offene Parabel mit den Nullpunkten

P1(-1;0) und P2(1;0).

\(f(x)=a(x+1)(x-1)=a(x^2-1)\)

a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.

Die Stammfunktion ist dann

\(f(x)=\int a(x^2-1)dx\\ f(x)=a(\frac{1}{3}x^3-x+C)\)

Der Wendepunkt der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.

Der Maximumpunkt Ph(-1;2) eingesetzt ergibt:

\(f(x)=a(\frac{1}{3}x^3-x+0)\\ 2=a(\frac{1}{3}\cdot (-1)^3-(-1))\\ a=\frac{2}{0.\overline6}\\ a=3\)

Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist

\(f(x)=3(\frac{1}{3}x^3-x+0)\\ \color{blue}f(x)=x^3-3x\)

 

2. Ganzrationale Funktion mit Extremum im Ursprung P1(0;0) und im Punkt P2(2;4).

 

Die 1. Ableitung der gesuchten Funktion ist eine nach unten offene Parabel mit den Nullstellen x1=0 und x2=2.

\(f'(x)=-ax(x-2)=a(-x^2+2x)\)

a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.

Die Stammfunktion ist dann

\(f'(x)=a\cdot \int (-x^2+2x)dx\\ f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2+C)\)

Das Minimum der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.

Der Maximumpunkt P2(2;4) eingesetzt ergibt:

\(f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2+C)\\ 4=a\cdot (-\frac{1}{3}\cdot 2^3+2^2+0)\\ a=\frac{4}{1.\overline 3}\\ a=3\)

Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist

\(f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2)=3\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2)\\ \color{blue}f(x)=-x^3+3x^2\)

 

laugh  !

 03.02.2023
bearbeitet von asinus  04.02.2023

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