Ganzrationale Funktionen konstrieren

Ganzrationale Funktionen dritten Grades 

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1. Funktion mit Wendepunkt im Koordinatenursprung

Liegt der Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion dritten Grades im Koordinatenursprung, dann liegt der Hochpunkt zentral-spiegelblldlich gegenüber dem Tiefpunkt.

Pt(1;-2)    Pw(0;0)    Ph(-1;2)

Die 1. Ableitung der Funktion ist eine nach oben offene Parabel mit den Nullpunkten

P1(-1;0) und P2(1;0).

$f(x)=a(x+1)(x-1)=a(x^2-1)$

a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.

Die Stammfunktion ist dann

$f(x)=\int a(x^2-1)dx\\ f(x)=a(\frac{1}{3}x^3-x+C)$

Der Wendepunkt der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.

Der Maximumpunkt Ph(-1;2) eingesetzt ergibt:

$f(x)=a(\frac{1}{3}x^3-x+0)\\ 2=a(\frac{1}{3}\cdot (-1)^3-(-1))\\ a=\frac{2}{0.\overline6}\\ a=3$

Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist

$f(x)=3(\frac{1}{3}x^3-x+0)\\ \color{blue}f(x)=x^3-3x$

2. Ganzrationale Funktion mit Extremum im Ursprung P1(0;0) und im Punkt P2(2;4).

Die 1. Ableitung der gesuchten Funktion ist eine nach unten offene Parabel mit den Nullstellen x1=0 und x2=2.

$f'(x)=-ax(x-2)=a(-x^2+2x)$

a ist der zu ermittelnde Dehnfaktor der gesuchten Funktion.

Die Stammfunktion ist dann

$f'(x)=a\cdot \int (-x^2+2x)dx\\ f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2+C)$

Das Minimum der Funktion liegt im Koordinatenursprung, demzufolge ist C=0.

Der Maximumpunkt P2(2;4) eingesetzt ergibt:

$f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2+C)\\ 4=a\cdot (-\frac{1}{3}\cdot 2^3+2^2+0)\\ a=\frac{4}{1.\overline 3}\\ a=3$

Die gesuchte ganzrationale Funktion dritten Grades ist

$f(x)=a\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2)=3\cdot (-\frac{1}{3}x^3+x^2)\\ \color{blue}f(x)=-x^3+3x^2$

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