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Da bin ich überfragt. Mein Mathe ist nur ein Nebenprodukt vom Maschinenbau-Studium vor ziemlich langer Zeit.

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Mitte von 90000 und 150000 =  \(\dfrac{90\ 000+150\ 000}{2}=\) 120 000

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Ich nenn' die große Zahl g, die kleine k. Die Sätze liefern folgendes Gleichungssystem:

g-k=7

8k-3g = 34

Die erste Gleichung liefert g=k+7. Damit wird aus der zweiten Gleichung

8k-3(k+7) = 34

8k -3k -21 = 34

5k = 55

k = 11

-> g = 18

Meinst du damit das Axiomensystem ganz am Anfang deines Links, wo Gruppen definiert werden? Das hat mit natürlichen Zahlen erstmal nix zu tun, vor Allem weil die gar keine Gruppe sind (gibt keine additiven Inversen). Das Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen charakterisiert, ist das System der Peano-Axiome. 

Man kann die Kommutativität der Multiplikation schon per Induktion nachweisen, das funktioniert schon auch ca. so wie du's gemacht hast. Das Distributivgesetz wird dafür vorausgesetzt. Die Induktion sieht ca. so aus:

Sei erstmal m eine feste natürliche Zahl.

IA: n=1: m*1=1*m ist wahr, weil 1 als neutrales Element der Multiplikation mit allem kommutieren muss.

IV: nm=mn für eine natürliche Zahl n.

IS: Wir zeigen (n+1)m=m(n+1):

(n+1)m = nm+1m =* mn+m1 = m(n+1)

Bei * wird die IV benutzt um in beiden Summanden die Faktoren zu tauschen.

So ist gezeigt: mn=nm für unser festes m und jede Zahl n. Weil m beliebig war, ist also nm=mn für alle natürlichen Zahlen m, n.

Was der \bigwedge am Anfang soll ist mir aber immer noch unklar :D Würde man das nicht so schreiben:

\(\forall m, n \in \mathbb{N} : mn=nm\)     ?

Buchstaben in der Mathematik

Hallo Gast!

Klicke den Link. Dort kannst du es erfahren.

Ja, so ist es. Ich hab's gegoogelt.

Was bedeutet denn das \(\bigwedge\)-Zeichen hier? Soll gezeigt werden, dass die Multiplikation der natürlichen Zahlen eine kommutative Verknüpfung ist?

Beweise mit vollständiger Induktion nach n: \(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)

Hallo Gast!

\(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)

Induktionsanfang:

\(n=1\ linke\ Seite:\)    \(m\cdot 1=m\)

          \(rechte\ Seite:\)   \(1\cdot m=m\)

Für n = 1 sind beide Seiten Gleich, die Aussage ist richtig.

Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:

\(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)

Der Induktionsschluss von n nach n + 1 :

\(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=(n+1) \cdot m \)

linke Seite:

\(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=m\cdot n+1\cdot m\)

I.A.

\(=m\cdot n+1\cdot m\)

rechte Seite:

\((n+1)\cdot m\\ =n\cdot m+ 1\cdot m\)

Für \(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=(n+1) \cdot m \) sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist richtig.

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Wie hoch ist der Durchschnittspreis für 1 Kilogramm Kraftfutter?

Hallo Gast!

\(K_Ø=\dfrac{1000\cdot 2,58+500\cdot 2,98+2500\cdot 3,15}{1000+500+2500}\cdot \dfrac{€}{kg}\)

\(K_Ø=2,99\ €/kg\)

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Wie viel Geld hat Mr. Leonard jedem Jungen gegeben?

Hallo Gast!

\(j=$128\\ a=\frac{$128}{8}=$16\)

\((a+x)=\frac{2}{3}\cdot(j+x)\\ 3a+3x=2j+2x\\ x=2j-3a=2\cdot $128-3\cdot $16\)

\(x=$208\)

Mr. Leonard jedem Jungen $208 gegeben.

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Danke

Ja, das stimmt.

2x³+2x     <=ist das so richtig?

2x³

Frage wurde bearbeitet, nachdem ich geantwortet hatte. Die korrekte Antwort ist 2x³+2x.

IA: n=1: 3¹-3 = 0 ist durch 6 teilbar.

IV: Sei für eine natürliche Zahl n die Zahl 3ⁿ-3 durch 6 teilbar.

IS: Wir zeigen nun, dass dann auch 3ⁿ⁺¹-3 durch 6 teilbar ist. Es gilt

\(3^{n+1}-3 = \\ 3 \cdot 3^n -3 = \\ (2+1)\cdot 3^n -3 = \\ 2 \cdot 3^n + 3^n-3 = \\ 6 \cdot 3^{n-1} + (3^n-3)\)

(Die Klammer im letzten Schritt dient nur zum Hervorheben der IV, da ist kein Rechenschritt passiert.)

Wir sehen: Der Ausgangs-Term wurde zu einer Summe aus zwei Summanden. Der erste ist einfach ein Vielfaches von 6, der zweite ist nach IV auch ein Vielfaches von 6. Da eine Summe von Vielfachen von 6 wieder ein Vielfaches von 6 sind, sind wir fertig.

Eine neue Version des SAT (Scholastic Bewertungstest) wird an 1000 zufällig ausgewählte Oberstufensenioren vergeben. Das durchschnittliche Testergebnis der Stichprobe beträgt 1110 und die Standardabweichung 123. Konstruieren Sie ein 95-%-Konfidenzintervall für das durchschnittliche Testergebnis der Population für Senioren höherer Schulen.

Hallo Gast!

Es geht wohl um statistische Prozessregelung. Ich versuche dran zu bleiben.

12bc²

Wie viele Blaubeermuffins hatte sie noch?

Hallo Gast!

\(b:z=3:1\\ z=\frac{b}{3}\)

\(\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2} (b+z)+\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\cdot (b+z)+35\\ \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2} (b+\frac{b}{3})+\frac{b}{6}-35=\frac{1}{2}\cdot (b+\frac{b}{3})\\ \frac{5b}{12}+\frac{5b}{36}+\frac{b}{6}-35=\frac{b}{2}+\frac{b}{6}\\ -\dfrac{18b+6b-15b-5b-6b}{36}=35\\ b=\frac{35\cdot36}{2}\\ \color{blue}b=630\)

\({ \color{blue}z=}\frac{630}{3}= \color{blue}210\)

Frau Taylor hat 630 Blaubeermuffins und 210 Zimtmuffins gebacken.

\(\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot (630+210) \color{blue}=350 \)

Frau Taylor hat 350 Blaubeermuffins verkauft und noch 630 - 350 = 280 Blaubeermuffins übrig.

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Auf welchen Betrag belaufen sich die angefallenen Zinsen nach einem Jahr?

Hallo Gast!

Bei linearer Jahresverzinsung gilt die Gleichung \(K_n=K_0\cdot(1+i\cdot n)\).

Hierin bedeuten

\(K_0-Anfangskapital\\ K_n-Endkapital\\ i-Zinssatz\ ( i = p / 100 )\\ p-Zinssatz\ in\ Prozent\\ n-Laufzeit\ (Jahre, Monate, Tage) \)

Dein Sparverhalten hat fünf Perioden:

1.) 01.01. - 15.01

2.) 15.01

3.) 15.01 - 11.06.

4.) 11.06

5.) 11.06 - 31.12

1.) \(K_n=€\ 2542\cdot (1+\frac{7,3}{100}\cdot\frac{15}{365}) = €\ 2549,63\)

2.) \(€\ 2549,63+€\ 650=€\ 3199,63\)

3.) \(K_n=€\ 3199,63\cdot(1+\frac{7,3}{100}\cdot\frac{16+11}{365})= €\ 3216,90\)

4.) \(€\ 3216,90-€\ 399,00=€\ 2817,90\)

5.)\(K_n=€\ 2817,90\cdot(1+\frac{7,3}{100}\cdot\frac{19+6\cdot30}{365})=€\ 2930,05\)

Die angefallenen Zinsen nach einem Jahr betragen \(€\ (2930,05-2817,90+3216,90-3199,63+2549,63-2542)\\ =\color{blue}€\ 137,05\)

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Probolobo, bitte schreibe die richtige Formel dazu, und benenne die verwendeten Variablen. Jahresanfang, Jahresende ist dort nicht ganz klar verwendet. Danke!

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