+14903 Beweise mit vollständiger Induktion nach n: \(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)
Hallo Gast!
\(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)
Induktionsanfang:
\(n=1\ linke\ Seite:\) \(m\cdot 1=m\)
\(rechte\ Seite:\) \(1\cdot m=m\)
Für n = 1 sind beide Seiten Gleich, die Aussage ist richtig.
Die Induktionsannahme (I.A.) lautet:
\(\bigwedge_{m, n \in \mathbb{N}} m \cdot n=n \cdot m \)
Der Induktionsschluss von n nach n + 1 :
\(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=(n+1) \cdot m \)
linke Seite:
\(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=m\cdot n+1\cdot m\)
I.A.
\(=m\cdot n+1\cdot m\)
rechte Seite:
\((n+1)\cdot m\\ =n\cdot m+ 1\cdot m\)
Für \(\bigwedge_{m, n+1 \in \mathbb{N}} m \cdot (n+1)=(n+1) \cdot m \) sind beide Seiten gleich. Die Aussage ist richtig.
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+3976 Was bedeutet denn das \(\bigwedge\)-Zeichen hier? Soll gezeigt werden, dass die Multiplikation der natürlichen Zahlen eine kommutative Verknüpfung ist?
+14903 Ja, so ist es. Ich hab's gegoogelt.
https://www.heldermann.de/BSM/BSM07/kapitel2.pdf
Dort wird auch dargestellt, dass \(a\cdot b=b\cdot a \) ein Axiom ist.
So habe ich mit vollständiger Induktion ein Axiom bewiesen. Wenn du genau hinsiehst, wirst du, wie ich, erkennen, dass der Beweis nicht gültig ist. Er hat mir trotzdem Spaß gemacht.
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+3976 Meinst du damit das Axiomensystem ganz am Anfang deines Links, wo Gruppen definiert werden? Das hat mit natürlichen Zahlen erstmal nix zu tun, vor Allem weil die gar keine Gruppe sind (gibt keine additiven Inversen). Das Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen charakterisiert, ist das System der Peano-Axiome.
Man kann die Kommutativität der Multiplikation schon per Induktion nachweisen, das funktioniert schon auch ca. so wie du's gemacht hast. Das Distributivgesetz wird dafür vorausgesetzt. Die Induktion sieht ca. so aus:
Sei erstmal m eine feste natürliche Zahl.
IA: n=1: m*1=1*m ist wahr, weil 1 als neutrales Element der Multiplikation mit allem kommutieren muss.
IV: nm=mn für eine natürliche Zahl n.
IS: Wir zeigen (n+1)m=m(n+1):
(n+1)m = nm+1m =* mn+m1 = m(n+1)
Bei * wird die IV benutzt um in beiden Summanden die Faktoren zu tauschen.
So ist gezeigt: mn=nm für unser festes m und jede Zahl n. Weil m beliebig war, ist also nm=mn für alle natürlichen Zahlen m, n.
Was der \bigwedge am Anfang soll ist mir aber immer noch unklar :D Würde man das nicht so schreiben:
\(\forall m, n \in \mathbb{N} : mn=nm\) ?
+14903 Da bin ich überfragt. Mein Mathe ist nur ein Nebenprodukt vom Maschinenbau-Studium vor ziemlich langer Zeit.
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+3976 Na dann lass ich's so als Korrektur-Aussage stehen: Die richtige Schreibweise ist \(\forall m, n \in \mathbb{N}: nm=mn\) .
Vielleicht kann der Fragesteller ja auch was zur Schreibweise sagen. Eventuell kannte/kennt er ja den Allquantor \forall von LaTeX nicht & hat als optisch ähnliche Alternative den \bigwedge benutzt.
Der Kern hier ist aber ja eh der Beweis, der so hoffentlich auch für den Fragesteller verständlich ist :)
