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Vollständige Induktion für: 3^n - 3 ist für alle n Element N durch 6 teilbar

 03.11.2021
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IA: n=1: 31-3 = 0 ist durch 6 teilbar.

IV: Sei für eine natürliche Zahl n die Zahl 3n-3 durch 6 teilbar.

IS: Wir zeigen nun, dass dann auch 3n+1-3 durch 6 teilbar ist. Es gilt

\(3^{n+1}-3 = \\ 3 \cdot 3^n -3 = \\ (2+1)\cdot 3^n -3 = \\ 2 \cdot 3^n + 3^n-3 = \\ 6 \cdot 3^{n-1} + (3^n-3)\)

 

(Die Klammer im letzten Schritt dient nur zum Hervorheben der IV, da ist kein Rechenschritt passiert.)

Wir sehen: Der Ausgangs-Term wurde zu einer Summe aus zwei Summanden. Der erste ist einfach ein Vielfaches von 6, der zweite ist nach IV auch ein Vielfaches von 6. Da eine Summe von Vielfachen von 6 wieder ein Vielfaches von 6 sind, sind wir fertig.

 03.11.2021

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