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Mit "Kurvenpunkte" sind hier Punkte, die auf dem Funktionsgraph (der "Funktionskurve") liegen, gemeint. Wir suchen also alle Punkte, an denen die Funktion die Steigung null hat. Wie oben schon erwähnt: Steigung null heißt, die Ableitung der Funktion muss null sein. Also wird erstmal abgeleitet:
f'(x) = -x^2-x+2
Wir finden die Nullstellen per Mitternachtsformel:
\(x = {1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot (-1) \cdot 2} \over 2\cdot (-1)} = \frac{1 \pm 3}{-2} \\ \rightarrow x_1 = -2; \ \ x_2 = 1\)
Die Funktion hat also bei den Stellen x=-2 und x=1 die Steigung null. Wir finden die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion (nicht mehr in die Ableitung, da käme 0 raus - die Ableitung gibt die Steigung an, die Funktion selbst liefert die y-Werte):
\(y_1 = f(-2) = -\frac{1}{3} \cdot (-2)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2) = \frac{-26}{3} \\ y_2 = f(1) = -\frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{2} \cdot 1^2+2 \cdot 1 = \frac{7}{6}\)
Damit sind die folgenden Punkte Kurvenpunkte, bei denen die Funktion eine waagrechte Tangente hat:
\(P_1 (-2 | \frac{-26}{3} ) \ \ \ \ \ \ \ \ P_2(1 | \frac{7}{6})\)
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