Hi,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
,,Eine ganzrationale Funktion 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie hat einen Wendepunkt bei (1 | 1). Die Steigung beträgt -9. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f."
durch die Punktsymmetrie durch den Ursprung kann ich ja gerade Exponenten streichen, oder?
Kann mir jemand zeigen wie man das lösen muss?
eine Frage unabhängig von dieser Aufgabe hätte ich dennoch :-)
Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist zum Ursprung, kann ich ungerade Exponenten streichen, oder?
Aber ich kann gerade oder ungerade Exponenten nur streichen, wenn sie achen-oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Liege ich da richtig?
Vielen Dank 🙏 😊
+3976 Erstmal zu deiner Annahme:
Käme in einem Polynom, dessen Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist (nicht zum Ursprung, das gibt's nicht), eine ungerade Potenz vor, dann würde sich beim bilden von f(-x) das Vorzeichen an dieser Stelle ändern - dann wäre f(-x) nicht gleich f(x) und daher die Funktion doch nicht achsensymmetrisch. Es folgt also: Ein achsensymmetrisches Polynom besteht nur aus geraden x-Potenzen.
Analog: Käme in einem Polynom, das punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ein gerader Exponent vor, so würde sich das Vorzeichen an dieser Stelle beim Bilden von f(-x) nicht ändern, daher wäre f(-x) nicht gleich -f(x) und die Funktion doch nicht punktsymmetrisch. Es folgt: Ein punktsymmetrisches Polynom besteht nur aus ungeraden Exponenten.
Nun zur Aufgabe:
Das Polynom hat wegen der punktsymmetrie, wie du schon ankündigst, die Form
f(x)=ax^5+bx^3+cx.
Wir wissen: Der Punkt (1|1) liegt auf der Funktion, also gilt:
1=f(1) bzw.
(I) 1=a+b+c
Dieser Punkt ist außerdem ein Wendepunkt, also muss dort die zweite Ableitung null sein. Wir leiten also erstmal ab:
f'(x)=5ax^4+3bx^2+c
f''(x) = 20ax^3+6bx
Das liefert uns jetzt die Gleichung 0=f''(1), oder ausgeschrieben
(II) 0 = 20a+6b
Weiterhin ist bekannt, dass die Steigung dort -9 ist. Das liefert uns die Gleichung -9=f'(x) (Merke: Die Ableitung gibt die Steigung an!)
(III) -9 = 5a+3b+c
Es ist also ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen entstanden, welches wir nun lösen müssen.
Ich fasse erstmal zusammen:
(I) 1=a+b+c
(II) 0 = 20a+6b
(III) -9 = 5a+3b+c
Die erste Gleichung lässt sich beispielsweise nach c auflösen, wir erhalten
c = 1-a-b.
Das setze ich nun in (III) ein - eigentlich auch in (II), aber da kommt c ohnehin nicht vor.
-9 = 5a+3b+1-a-b |-1
(III)' -10 = 4a+2b
(II) 0 = 20a+6b
Nun löse ich eine davon nach einer Variablen auf - ich entscheide mich hier für (III)' nach b, es ist aber eigentlich egal.
2b = -10-4a
b = -5-2a.
Das setze ich nun in (II) ein und erhalten einen Wert für a:
0 = 20a+6(-5-2a)
0 = 20a -30 -12a |+30
30 = 8a
a = 30/8 = 15/4 = 3,75.
Das setze ich nun in b ein (rot markiert!):
b = -5-2*3,75 = -5-7,5 = -12,5
Und jetzt kommen a&b in unseren Term für c (auch rot!):
c = 1-3,75-(-12,5) = 9,75
Jetzt haben wir Werte für a, b, und c (grün) - diese kommen noch in den Funktionsterm und wir sind fertig:
f(x) = 3,75x^5-12,5x^3+9,75x
Diese Funktion hat die gewünschten Eigenschaften.
Ganz allgemein zu Aufgaben dieser Art: Die laufen immer gleich ab eigentlich, nämlich wie hier: Man schreibt zunächst die Funktion allgemein auf, also mit Variablen vor den x-Potenzen, versucht, die Angaben zur Funktion in Gleichungen zu übersetzen, und löst das entstehende Gleichungssystem.
Ich habe noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe, da du die vorherige so toll erklärt hast und ich sie verstanden habe. :-) Natürlich nur, wenn es okay ist.
Ich komme trotz mehrerer Rechnungen nicht auf das gewünschte Ergebnis. Laut dem Buch zumindest.
,,Bestimmen sie alle Kurvenpunkte, die eine waagrechte Tangente besitzen"
f(x) = - 1/3 x hoch 3 - 1/2 x hoch 2 +2x
nun gut, ich weiss dass eine waagrechte Tangente eine Steigung von 0 hat. Aber was ist mit ,,Kurvenpunkte" gemeint und wie soll ich das prüfen? :(
+3976 Fragen stellen ist immer okay, dafür ist die Seite hier ja gedacht ;)
Mit "Kurvenpunkte" sind hier Punkte, die auf dem Funktionsgraph (der "Funktionskurve") liegen, gemeint. Wir suchen also alle Punkte, an denen die Funktion die Steigung null hat. Wie oben schon erwähnt: Steigung null heißt, die Ableitung der Funktion muss null sein. Also wird erstmal abgeleitet:
f'(x) = -x^2-x+2
Wir finden die Nullstellen per Mitternachtsformel:
\(x = {1 \pm \sqrt{(-1)^2-4 \cdot (-1) \cdot 2} \over 2\cdot (-1)} = \frac{1 \pm 3}{-2} \\ \rightarrow x_1 = -2; \ \ x_2 = 1\)
Die Funktion hat also bei den Stellen x=-2 und x=1 die Steigung null. Wir finden die zugehörigen y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion (nicht mehr in die Ableitung, da käme 0 raus - die Ableitung gibt die Steigung an, die Funktion selbst liefert die y-Werte):
\(y_1 = f(-2) = -\frac{1}{3} \cdot (-2)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2) = \frac{-26}{3} \\ y_2 = f(1) = -\frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{1}{2} \cdot 1^2+2 \cdot 1 = \frac{7}{6}\)
Damit sind die folgenden Punkte Kurvenpunkte, bei denen die Funktion eine waagrechte Tangente hat:
\(P_1 (-2 | \frac{-26}{3} ) \ \ \ \ \ \ \ \ P_2(1 | \frac{7}{6})\)
