WICHTIG

Gibt es unendlich viele Primzahlfaktoren?

Hallo Mathepro!

Wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, können diese auch als Primzahlenfaktoren verwendet werden. Mehr dazu erfährst du, wenn du den Link anklickst.

https://www.mathematik.de/algebra/177-erste-hilfe/zahlenbereiche/nat%C3%BCrliche-zahlen/2309-primzahlen

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Es ist sogar relativ einfach, zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:
 

Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Sei die Menge der Primzahlen $\mathbb{P}= \{ p_1, p_2, ..., p_n \}$.

Dann ist die Zahl $z= ( \Pi_{i=1}^n p_i )+1 = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n +1$ eine Zahl, die größer als alle p_i ist, die aber durch keine unserer Primzahlen teilbar ist. Daher ist z selbst prim und die Primzahlmenge war noch nicht vollständig. 

Kurzum: Es ist bei einer endlichen Menge an Primzahlen stets möglich, noch eine zu finden. Daher kann keine endliche Menge ausreichen, um alle Primzahlen zu enthalten - es muss unendlich viele geben.