+14915 Gibt es unendlich viele Primzahlfaktoren?
Hallo Mathepro!
Wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, können diese auch als Primzahlenfaktoren verwendet werden. Mehr dazu erfährst du, wenn du den Link anklickst.
!
+3976 Es ist sogar relativ einfach, zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:
Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Sei die Menge der Primzahlen \(\mathbb{P}= \{ p_1, p_2, ..., p_n \}\).
Dann ist die Zahl \(z= ( \Pi_{i=1}^n p_i )+1 = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n +1\) eine Zahl, die größer als alle pi ist, die aber durch keine unserer Primzahlen teilbar ist. Daher ist z selbst prim und die Primzahlmenge war noch nicht vollständig.
Kurzum: Es ist bei einer endlichen Menge an Primzahlen stets möglich, noch eine zu finden. Daher kann keine endliche Menge ausreichen, um alle Primzahlen zu enthalten - es muss unendlich viele geben.
