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gibt es Unendlich Primzahlfaktoren?

bearbeitet von asinus  07.02.2021
bearbeitet von asinus  07.02.2021
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Gibt es unendlich viele Primzahlfaktoren?

 

Hallo Mathepro!

 

Wenn es unendlich viele Primzahlen gibt, können diese auch als Primzahlenfaktoren verwendet werden. Mehr dazu erfährst du, wenn du den Link anklickst.

https://www.mathematik.de/algebra/177-erste-hilfe/zahlenbereiche/nat%C3%BCrliche-zahlen/2309-primzahlen

laugh  !

 07.02.2021
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Es ist sogar relativ einfach, zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt:
 

Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Sei die Menge der Primzahlen \(\mathbb{P}= \{ p_1, p_2, ..., p_n \}\).

Dann ist die Zahl \(z= ( \Pi_{i=1}^n p_i )+1 = p_1 \cdot p_2 \cdot ... \cdot p_n +1\) eine Zahl, die größer als alle pi ist, die aber durch keine unserer Primzahlen teilbar ist. Daher ist z selbst prim und die Primzahlmenge war noch nicht vollständig. 

Kurzum: Es ist bei einer endlichen Menge an Primzahlen stets möglich, noch eine zu finden. Daher kann keine endliche Menge ausreichen, um alle Primzahlen zu enthalten - es muss unendlich viele geben.

 08.02.2021

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