Die Gleichung einer Parabel hat die Form \(f(x)=ax^2 +bx +c\). Wir wissen schon, dass a=1 sein muss, da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt. Die Punkte P & Q liegen auf der Parabel, sie erfüllen also die Funktionsgleichung. Das liefert ein Gleichungssystem:
\(I: \ \ -3 = (-3)^2 + b \cdot (-3) + c \\ II: \ \ 5 = (-1)^2 + b \cdot (-1) +c \\ \\ \ \\ I: \ \ -3 = 9 -3b + c \\ II: \ \ 5 =1 -b +c \\\)
Um b & c zu bestimmen, müssen wir das Gleichungssystem lösen. Man kann hier beispielsweise Gleichung 1 von Gleichung 2 abziehen. Das sieht dann so aus:
\(II-I: 5 - (-3) = 1-b+c-9 - (-3b)-c \\ 8 = -8 +2b \ \ |+8 \\ 16 = 2b \\ 8 = b\)
Diesen Wert setzen wir noch in eine der beiden Gleichungen ein:
\(I: -3 = 9 -3 \cdot 8 + c \\ -3 = -15 +c \\ c = 12\)
Damit hat unsere Parabel die Funktionsgleichung \(f(x) = x^2 + 8x + 12\).
Die Scheitelkoordinaten erhalten wir nun aus den Koeffizienten der Parabel:
\(x_S = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2} = -4\)
\(y_S = f(x_S) = f(-4) = (-4)^2 +8 \cdot (-4) +12 = -4\)
Der Scheitel der Parabel ist also der Punkt S(-4/-4).
Den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen wir, indem wir 0 in die Funktion einsetzen (Punkte auf der y-Achse haben immer den x-Wert 0)
\(f(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 +12 = 12\)
Das liefert den Punkt A(0/12).
Die Nullstellen bestimmen wir mit der Lösungsformel:
\(x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} =\frac{-8 \pm 4}{2} \\ \rightarrow x_1 = -6, x_2 = -2\)
Da \(f(0)=12 \neq 0\) erfüllt der Ursprung (0/0) nicht die Funktionsgleichung. Die Parabel verläuft also nicht durch den Ursprung.
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