Gleichung mit hoch 3 Auflösen

 x^3=x+504. Durch Draufschauen kann man ja sofort erkennen, dass x=8 sein muss. Aber man kann ja nicht direkt die dritte wurzel ziehen. Also was genau muss ich machen, damit ich einen Rechenweg habe?

Hallo Gast!

$x^3=x+504\\ y=x^3-x-504=0$

Der Rechenweg zum x für eine Potenzfunktion 3. Grades beginnt tatsächlich so, wie du ihn begonnen hast.

Mit Hilfe einer Wertetabelle wird eine Nullstelle f(x) = 0 ermittelt. Der $x_1$-Wert wird durch Einsetzen in die Funktion bestätigt.

Tabelle:       $x_1=8$

   x :    6       7     8      9      10

   y:  -294  -168   0    216   484

Probe:

$y=x^3-x-504=0\\ y=8^3-8-504=0\\ \color{blue}y=512-8-504=0$

Die Potenzfunktion 3. Grades wird nun durch Polynomdivision in eine quadratische Funktion umgewondelt

Der Divisor dieser Division ist der Term (x - Wert von $x_1$), hier also $(x-8)$.

Polynomdivision:

   $(x^3-x\ -\ 504):(x-8)$= $x^2+8x+63$

   $\underline{x^3-8x^2}$

            $8x^2-x$

           $\underline{8x^2-64x}$

                      $63x-504$

                      $\underline{63x-504}$

                                       0

Quadratische Funktion (Lösen mit p-q-Formel):

$y=x^2+8x+63\\ x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ x=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2-63}\\ x=-4\pm \sqrt{-47}$

$x_2=-4+i\sqrt{47}\\ x_3=-4-i\sqrt{47}$

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