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Bestimme x: 4^(2x + 1) - 2*4^x - 6 = 0

\(4^{2x+1}-2\cdot 4^x-6=0\)

laugh  !

 23.07.2020
bearbeitet von asinus  23.07.2020
bearbeitet von asinus  23.07.2020
bearbeitet von asinus  23.07.2020
bearbeitet von asinus  23.07.2020
 #1
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Auf gehts!

 

Eine Aufgabe, die mit Substitution gelöst werden kann:

 

\(4^{2x+1}-2 \cdot 4^x - 6 = 0 \\ 4 \cdot (4^x)^2 -2 \cdot 4^x -6 =0 \ \ \ | u=4^x \\ 4u^2 -2u-6 =0 \\ \\ u_{1/2} = \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 4 \cdot (-6)}}{2 \cdot 4} = \frac{2 \pm 10}{8} \\ u_1 = -1, \ \ \ u_2 = 1,5 \\ \\ -1 = 4^x \rightarrow keine \ \ Loesung \\ 1,5 = 4^x \ \ | log_4(.) \\ x = log_4(1,5) \approx 0,29\)

 23.07.2020
 #2
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Hallo Probolobo,

 

wie rechnest du

\(x=log_4 (1,5)\approx 0,29\)

Taschenrechner?

 

Meine Rechnung wäre

\(1,5=4^x\\ lg(1,5)=x\cdot lg(4)\\ \large x=\frac{lg(1,5)}{lg(4)}\approx 0,29\)

Gruß

laugh  !

asinus  23.07.2020
bearbeitet von asinus  23.07.2020
 #3
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Hi!

 

\(log_4(1,5)\) mit dem Taschenrechner, ja. 

 

Die Gleichung "normal" zu logarithmieren ist natürlich auch eine Option, dann läuft das genauso ab wie in deiner Lösung.

Welchen Logarithmus man nutzt ist ja hier im Prinzip egal, aber der Logarithmus zur Basis 4 bietet sich an, weil \(log_4(4)=1\):

 

\(1,5 = 4^x \ \ \ |log_4(.) \\ log_4(1,5) = x \cdot log_4(4) \ \ \ |log_4(4)=1 \\ log_4(1,5)=x\)

 

So spart man sich halt den einen Rechenschritt. 

Den Wert von \(\frac{lg(1,5)}{lg(4)}\) berechnest du doch auch mit Taschenrecher, oder? :D

Probolobo  24.07.2020
 #4
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Hi,

 

der Taschenrechner war kein Vorwurf, aber wie rechnet sich

\(x=lg_4(1,5) \)

auf einem Taschenrechner (HP48GX)?

laugh  !

asinus  24.07.2020
 #5
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Das ist wohl ein berechtigter Einwand. Gibt ja doch viele Modelle, die nur lg & ln als Tasten anbieten, dann muss man auch deinen Weg gehen.

 

Diesen habe ich noch aus der Schulzeit bei mir rumliegen und nutze ihn auch meistens für die Rechnungen hier - der hat 'ne Taste für Logarithmen zu beliebiger Basis. Da vergesse ich manchmal, dass das viele nicht haben - dein Lösungsweg ist dann wahrscheinlich der bessere (da von mehr Menschen nutzbar).

Probolobo  24.07.2020
 #6
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Danke!

 

Auf unserem web2.0rechner gebe man ein

\(log4(1.5)\).

Nach doppeltem betätigen von |=| steht über dem Tastaturfeld

\(log(1.5,4)=log_4(1.5)=0.29...\)

 

Wieder was gelernt. Toll

laugh  !

asinus  24.07.2020
 #7
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oh, schön - das wusste ich auch noch nicht :D

Probolobo  24.07.2020

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