Eine nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte P(-3 | -3) und Q(-1 | 5).
a) Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel.
b) Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes S an.
c) Bestimme den Schnittpunkt A der Parabel mit der y-Achse.
d) Bestimme die beiden Nullstellen der Funktionsgleichung.
e) Verläuft die Parabel durch den Ursprung?
+3976 Die Gleichung einer Parabel hat die Form f(x)=ax2+bx+c. Wir wissen schon, dass a=1 sein muss, da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt. Die Punkte P & Q liegen auf der Parabel, sie erfüllen also die Funktionsgleichung. Das liefert ein Gleichungssystem:
I: −3=(−3)2+b⋅(−3)+cII: 5=(−1)2+b⋅(−1)+c I: −3=9−3b+cII: 5=1−b+c
Um b & c zu bestimmen, müssen wir das Gleichungssystem lösen. Man kann hier beispielsweise Gleichung 1 von Gleichung 2 abziehen. Das sieht dann so aus:
II−I:5−(−3)=1−b+c−9−(−3b)−c8=−8+2b |+816=2b8=b
Diesen Wert setzen wir noch in eine der beiden Gleichungen ein:
I:−3=9−3⋅8+c−3=−15+cc=12
Damit hat unsere Parabel die Funktionsgleichung f(x)=x2+8x+12.
Die Scheitelkoordinaten erhalten wir nun aus den Koeffizienten der Parabel:
xS=−b2a=−82=−4
yS=f(xS)=f(−4)=(−4)2+8⋅(−4)+12=−4
Der Scheitel der Parabel ist also der Punkt S(-4/-4).
Den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen wir, indem wir 0 in die Funktion einsetzen (Punkte auf der y-Achse haben immer den x-Wert 0)
f(0)=02−8⋅0+12=12
Das liefert den Punkt A(0/12).
Die Nullstellen bestimmen wir mit der Lösungsformel:
x1/2=−b±√b2−4ac2a=−8±√82−4⋅1⋅122⋅1=−8±42→x1=−6,x2=−2
Da f(0)=12≠0 erfüllt der Ursprung (0/0) nicht die Funktionsgleichung. Die Parabel verläuft also nicht durch den Ursprung.
