Ein 10 cm hoher geschlossener Kegel ist zu 80 % seines Volumens mit Wasser gefüllt.
Zum Radius wurde keine Angabe gemacht.
\(V_{\text{Kegel}} = \frac13\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \quad | \quad h = 10\ cm \)
1.) Wie hoch steht das Wasser, wenn die Kegelspitze nach oben zeigt ?
\(h_W = \text{Höhe des Wassers} \\ h_L = \text{Höhe der Luft} \\ h_L = h - h_W \\ r_L =\text {Radius des Luftkegels }\)
Strahlensatz:
\(\begin{array}{rcll} \frac{h}{r} &=& \frac{h_L}{r_L} \\ \frac{r_L}{r} &=& \frac{h_L}{h} \\ \frac{r_L}{r} &=& \frac{h - h_W}{h} \\ \end{array}\)
Ansatz:
\(\begin{array}{rcll} 20\% \cdot V_{\text{Kegel}} &=& \frac13\cdot \pi \cdot r_L^2 \cdot h_L \\ 20\% \cdot V_{\text{Kegel}} &=& \frac13\cdot \pi \cdot r_L^2 \cdot ( h - h_W ) \\ 20\% \cdot\frac13\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &=& \frac13\cdot \pi \cdot r_L^2 \cdot ( h - h_W ) \\ 20\% \cdot r^2 \cdot h &=& r_L^2 \cdot ( h - h_W ) \\ 20\% \cdot h &=& (\frac{r_L}{r})^2 \cdot ( h - h_W ) \\ 20\% \cdot h &=& (\frac{h - h_W}{h})^2 \cdot ( h - h_W ) \\ 20\% \cdot h^3 &=& ( h - h_W )^3 \quad | \quad \sqrt[3]{} \\ \sqrt[3]{20\%} \cdot h &=& h - h_W \\ h_W &=& h - h \cdot \sqrt[3]{20\%} \\ h_W &=& h\cdot (1 - \sqrt[3]{20\%}) \\ h_W &=& h\cdot (1 - \sqrt[3]{0,2} ) \\ h_W &=& 10\ cm \cdot (1 - 0,58480354764 ) \\ h_W &=& 10\ cm \cdot 0,41519645236 \\ \mathbf{h_W }& \mathbf{=} & \mathbf{ 4,1519645236\ cm } \end{array}\)
2.) Wie hoch steht das Wasser, wenn die Kegelspitze nach unten zeigt ?
\(h_W = \text{Höhe des Wassers} \\ r_W =\text {Radius des Wasserkegels } \)
Strahlensatz:
\(\begin{array}{rcll} \frac{h}{r} &=& \frac{h_W}{r_W} \\ \frac{r_W}{r} &=& \frac{h_W}{h} \\ \end{array}\)
Ansatz:
\(\begin{array}{rcll} 80\% \cdot V_{\text{Kegel}} &=& \frac13\cdot \pi \cdot r_W^2 \cdot h_W \\ 80\% \cdot\frac13\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h &=& \frac13\cdot \pi \cdot r_W^2 \cdot h_W \\ 80\% \cdot r^2 \cdot h &=& r_W^2 \cdot h_W \\ 80\% \cdot h &=& (\frac{r_W}{r})^2 \cdot h_W \\ 80\% \cdot h &=& (\frac{h_W}{h} )^2 \cdot h_W \\ 80\% \cdot h^3 &=& h_W^3 \quad | \quad \sqrt[3]{} \\ \sqrt[3]{80\%} \cdot h &=& h_W \\ h_W &=& \sqrt[3]{80\%} \cdot h \\ h_W &=& \sqrt[3]{0,8} \cdot 10\ cm \\ h_W &=& 0,92831776672 \cdot 10\ cm \\ \mathbf{h_W }& \mathbf{=} & \mathbf{ 9,2831776672\ cm } \end{array}\)
! Ich kann leider nicht für die
