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18.03.2016
 #3
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in Käsewürfel sei in 27 gleich große Teilwürfel unterteilt (3 Ebenen mit jeweils 3 Zeilen und 3 Spalten). Eine Maus beginnt in einer Ecke und frisst nacheinander die kleinen Teilwürfel auf, wobei sie sich nur von einem Würfel direkt zu einem Nachbarwürfel fortbewegen kann (als Nachbarwürfel verstehen wir 2 Würfel mit einer gemeinsamen Fläche).
Die Frage ist nun: Kann die Maus ihre Tour so gestalten, dass sie den mittleren Würfel zuletzt fressen kann?

 

 

Ein offener Eulerzug (Eulerpfad oder auch Eulerweg) ist dann gegeben, wenn eine Kantenfolge verlangt, welche jede Kante des Graphen genau einmal enthält.

 

Verallgemeinerung: Eulerweg

Ein (ungerichteter zusammenhängender) Graph enthält genau dann einen Eulerweg, wenn zwei oder keiner seiner Knoten von ungeradem Grad sind.

 

In der unteren Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 3,4,3, 4,5,4, 3,4,3 )

In der mittleren Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 4,5,4, 5,6,5, 4,5,4 )

In der oberen Ebene haben die Würfel die Knotenzahlen ( 3,4,3, 4,5,4, 3,4,3 )

 

Der Teilwürfel in der Mitte des Käsewürfels hat die Knotenzahl 6, da durch ihm in alle Richtungen 6 Wege verlaufen.

Es dürfen aber nur 2 ungerade Knotenzahlen sein. Wir haben hier 14 ungerade Knotenzahlen und 13 gerade Knotenzahlen, so gibt es hier für die Maus keinen Weg alle Teilwürfel, wie auch immer der Weg sein mag, zu essen.

Es gibt keinen Eulerweg.

 

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulerkreisproblem

und: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulerkreisproblem

 

laugh

18.03.2016
 #2
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In der Mengenlehre gehen Mathematiker heute zumeist von ZFC, dem Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem mit Auswahlaxiom aus (letzteres wird manchmal auch weggelassen), das alle mathematischen Überlegungen formal fundiert. Man kann zeigen, dass auf dieser Grundlage viele Mengen dieselbe Mächtigkeit besitzen, so zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen, die Menge der komplexen Zahlen, das Intervall [0, 1] oder die Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Die Kontinuumshypothese besagt nun, dass alle Mengen, die nicht mehr abzählbar sind, das heißt nicht in eine 1:1-Beziehung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden können, mindestens die Mächtigkeit der reellen Zahlen besitzen.

Kurt Gödel konnte 1939 zeigen, dass die Kontinuumshypothese zu ZFC relativ widerspruchsfrei ist: Falls ZFC zu keinem Widerspruch führt, so bleibt diese Eigenschaft erhalten, wenn man das Axiomensystem um die Kontinuumshypothese ergänzt. Paul Cohen konnte schließlich 1963 zeigen, dass auch die Negation der Kontinuumshypothese relativ widerspruchsfrei zu ZFC ist, sie also nicht aus ZFC gefolgert werden kann. Daraus folgt, dass die Kontinuumshypothese unabhängig vom klassischen Axiomensystem ist und bei Bedarf als neues Axiom eingesetzt werden kann.

Eine verwandte Frage, die Hilbert in der Formulierung seines Problems hinzugefügt hat, ist, ob eine Wohlordnung der reellen Zahlen existiert. Ernst Zermelo konnte beweisen, dass dies auf Grundlage von ZFC tatsächlich der Fall ist. Ohne das Auswahlaxiom, also im System ZF, kann die Aussage nicht gezeigt werden.


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