Kann mir jemand folgende Aufgabe sinnvoll erklären:
Bruno hat 7 Kuscheltierkatzen, eine ist weiß, eine gelb, eine rot, eine gelb-weiß, eine rot-weiß, eine gelb-rot und eine rot-weiß-gelb. Er will sich 4 Kuscheltierkatzen zum Schlafen mitnehmen. Von diesen 4 Katzen sollen immer 2 in mindestens einer Farbe übereinstimmen. Wie viele Möglichkeiten hat Bruno für seine Auswahl von 4 Katzen?
Die Katzen bekommen eine Nummer ( 1 bedetutet ja, 0 bedeutet nein ):
\(\small{ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Nummer}&\text{weiß} & \text{gelb} & \text{rot} \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \\ 6 & 1 & 1 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} }\)
Die Katze mit der Nummer 1 ist rot.
\(\cdots\)
Die Katze mit der Nummer 7 ist weiß und gelb und rot.
Kombinationen, in denen keine Farbe übereinstimmt:
Katze 1(001) kann nicht mit Katze 2(010) und Katze 4(100) und Katze 6(110) kombinieren.
Katze 2(010) kann nicht mit Katze 1(001) und Katze 4(100) und Katze 5(101) kombinieren.
Katze 3(011) kann nicht mit Katze 4(100) kombinieren.
Katze 4(100) kann nicht mit Katze 1(001) und Katze 2(010) und Katze 3(011) kombinieren.
Katze 5(101) kann nicht mit Katze 2(010) kombinieren.
Katze 6(110) kann nicht mit Katze 1(001) kombinieren.
Streicht man alle mehrfachen Kombinationen, so sind schließlich folgende Katzenkombinationen
nicht möglich, da sie nicht mindestens in einer Farbe übereinstimmen.
\(\small{ \begin{array}{|c|c| } \hline \text{geht nicht}& \\ \hline \text{Katze 1 und Katze 2} & 001 \text{ und } 010 \\ \text{Katze 1 und Katze 4} & 001 \text{ und } 100 \\ \text{Katze 1 und Katze 6} & 001 \text{ und } 110 \\ \text{Katze 2 und Katze 4} & 010 \text{ und } 100 \\ \text{Katze 2 und Katze 5} & 010 \text{ und } 101 \\ \text{Katze 3 und Katze 4} & 011 \text{ und } 100 \\ \hline \end{array} }\)
Wählen wir 4 Katzen von 7 aus, so gibt es 35 Möglichkeiten. \(\small{\binom{7}{4} = 35}\)
\(\small{ \begin{array}{|c|c|c| } \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & \text{ geht }\\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \text{ geht }\\ 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 3 und Katze 4}\\ 4 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 3 und Katze 4}\\ 5 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 3 und Katze 4}\\ \hline 6 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 5}\\ 7 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ 8 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ 9 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ 10 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht }\\ 11 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 5}\\ 12 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 5}\\ 13 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ 14 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ 15 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 2 und Katze 4}\\ \hline 16 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 6}\\ 17 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 6}\\ 18 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht }\\ 19 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 6}\\ 20 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 6}\\ 21 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht }\\ 22 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 6}\\ 23 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 4}\\ 24 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 4}\\ 25 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 4}\\ \hline 26 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 27 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 28 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 29 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 30 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 31 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 32 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 33 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 34 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ 35 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & \text{ geht nicht wegen Kombination Katze 1 und Katze 2}\\ \hline \end{array} }\)
Bruno hat 5 Möglichkeiten für seine Auswahl von 4 Katzen:
1. Möglichkeit: Katze 4, 5, 6, 7
2. Möglichkeit: Katze 3, 5, 6, 7
3. Möglichkeit: Katze 2, 3, 6, 7
4. Möglichkeit: Katze 1, 4, 5, 7
5. Möglichkeit: Katze 1, 3, 5, 7
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