Schlauchspirale

Hallo  Heureka,

meine Augen haben schon eine  Spiralform  angenommen.

Ich bewundere wirklich dein Wissen und deine Ausdauer.  Mit dir hat das Forum in der Tat einen Experten gewonnen.

Sei weiter so aktiv wie bisher !!

Ein anerkennender  Gruß von radix !

Ursprüngliche Frage in: http://web2.0rechner.de/fragen/fl-chenberechnung-einer-spirale

Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser (breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth

Ich versuche erstmal die Frage zu beantworten, wie groß die Spirale wird.

Ich gehe von einer archimedischen Spirale aus, die den Vorteil hat, das ihre Spiralarme immer gleichen Abstand \(a\cdot 2\pi\) haben. Die Gleichung einer arithmetischen Spirale lautet mathematisch \(r(\varphi) = a\cdot \varphi\), wobei \(\varphi\) der Winkelfortschritt ist und a ein Parameter der Spirale ist, der sich aus dem gegebenen Abstand der Spiralarme(Schläuche) berechnen läßt.

Wir definieren:

\(\small{ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ k = \text{ Klemmenbreite } = 2.5\ cm \\ D = \text{ Abstand der Schläuche, wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{k+s}{2} = \frac{2.5+1,6}{2} = 2.05\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} D &=& a\cdot 2\pi\\ a &=& \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \end{array}\)

Der Winkelfortschritt \(\varphi \) beginnt mit \(\varphi_1\),wenn die Spirale den Mindestabstand M erreicht hat.

Wir definieren:

\(\small{ m = \text{ Innenkreisdurchmesser } = 25\ cm \\ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ M = \text{ Mindestabstand M vom Mittelpunkt,wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{m+s}{2} = \frac{25+1,6}{2} = 13.3\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} M &=& a\cdot \varphi_1 \\ \varphi_1 &=& \frac{M}{a} = M\cdot \frac{ 2\pi}{D} = 13.3\ cm\cdot \frac{ 2\pi}{2.05\ cm} = 40.7640802856\ rad \end{array}\)

Wir stellen fest, {nl} pro \( 2\pi\) Winkelfortschritt vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt(\(r(\varphi)\)) um \(2.05\ cm\).

Der Schlauch startet bei einem Winkel von \(\varphi_1 = 40.7640802856\ rad\).

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 6.48780487805 mal gedreht

( \(\small{ n_{min} = \frac{ \varphi_1 } {2\pi} = \frac{ 40.7640802856\ rad } {2\pi} = 6.48780487805 }\) )

Nun kommen wir zur Länge der Spirale ( Länge des Schlauches ).

Die Herleitung erspare ich mir an dieser Stelle, doch soviel: {nl} Die Parametergleichung einer archimedischen Spirale lautet: {nl} \(x = a\cdot \varphi \cdot \cos{(\varphi)} \\ y = a\cdot \varphi \cdot \sin{(\varphi)}\\ \dot{x} = a \cdot [ \cos{(\varphi)}- \varphi \cdot \sin{(\varphi)} ]\\ \dot{y} = a \cdot [ \varphi \ cdot \cos{(\varphi)}+\sin{(\varphi)} ]\\ L = \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 }\ d\varphi } L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{1+(\varphi)^2 }\ d\varphi }\)

Wenn man \(\varphi = \sinh{(z)}\) substituiert, erhält man \( L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} {\cosh{(z)}^2} \ dz\)

Durch partielle Integration erhält man als Ergebnis \(L = \frac{a}{2} \left[ z+\frac{ \sinh{(2z)} }{2} \right] _{\varphi_1}^{\varphi_2}\)mit \(z = arsinh(\varphi)\)

In der Literatur findet man die Umformung \(L = \frac{a}{2}\left[ \varphi \cdot \sqrt{1+(\varphi)^2 } + \ln{\varphi + \sqrt{1+(\varphi)^2 } } \right]_{\varphi_1}^{\varphi_1}\)

Vorteilhafter ist, für die weitere Berechnung, die kurze Form zu nehmen.

Wir kennen bereits den Winkelfortschritt  \(\varphi_1\) am Anfang der Schlauchaufwicklung.

Und wir haben die Schlauchlänge L von 150 m. Wir benötigen also den Winkelfortschritt \(\varphi_2\) am Ende der Spirale(Schlauchaufwicklung).

\(\small{ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} = z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] \qquad z_1 = arsinh(\varphi_1) \quad z_2 = arsinh(\varphi_2) } \)

\(\begin{array}{rcll} z_1 &=& arsinh(\varphi_1) \qquad \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\\ z_1 &=& arsinh(40.7640802856) \\ z_1 &=& 4.401098902515\\ [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] &=& 1666.611265232 \end{array}\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - 1666.611265232 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad a = \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{0.32626763334 } + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ 93615.66454 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ \end{array} }\)

Ich setze \( K = 93615.66454\) und erhalten

\(\small{ \begin{array}{rcll} K &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad \cdot 2\\ 2K &=& 2z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)}\\ \end{array} }\)

Ersetzen wir noch \(z_2 = \frac12 \bar{z}_2\) so erhalten wir schließlich \(2K = \bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) }\)

\(\bar{z}_2\) kann nur mit einem Iterationsverfahren, wie Newton-Raphson gelöst weren.

Iteration  von \(\bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) } -2K=0\)  zur Bestimmung von \(\bar{z}_2, z_2 \text{ und } \varphi_2 \):

Die 1. Ableitung lautet \(1+\cosh{ (\bar{z}_2) }\)

Den Startwert von \(Z_0\) setze ich auf 13.

1. Iteration

\(\begin{array}{rcll} Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -2\cdot 93615.66454 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 13 + \frac12 \sinh{(13) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (13) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 33988.3669} { 221207.696 } \\ Z_1 &=& 12.84635088 \end{array}\)

2. Iteration

\(\begin{array}{rcll} Z_1 &=& 12.84635088 - \frac{ 12.84635088 + \frac12 \sinh{(12.84635088 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.84635088 ) } } \\ Z_1 &=& 12.84635088 - \frac{ 2482.379952} { 189701.8619 } \\ Z_1 &=& 12.83386519 \end{array}\)

3. Iteration

\(\begin{array}{rcll} Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 12.83386519 + \frac12 \sinh{(12.83386519 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83386519 ) } } \\ Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 128.545428} { 187348.0409} \\ Z_3 &=& 12.83317906 \end{array}\)

4. Iteration

\(\begin{array}{rcll} Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 12.83317906 + \frac12 \sinh{(12.83317906 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317906 ) } } \\ Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 0.0442938} { 187219.5405 } \\ Z_4 &=& 12.83317882 \end{array}\)

5. Iteration

\(\begin{array}{rcll} Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 12.83317882 + \frac12 \sinh{(12.83317882 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317882 ) } } \\ Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 0.000315} { 187219.4956 } \\ Z_5 &=& 12.83317882 \quad \text{ Wert ändert sich nicht mehr, ende der Iteration} \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} \bar{Z}_2 = Z_5 &=& 12.8331788 \\ z_2 = \frac12 \bar{z}_2 &=& \frac { 12.8331788 }{2} = 6.4165894\\ \varphi_2 = \sinh(zi_2) &=& \sinh(6.4165894)\\ \varphi_2 &=& 305.955467\ rad\\ \end{array}\)

Der genaue Wert für \(\varphi_2\) wäre \(305.955467270901983788847109700863367400\dots rad\)

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 48.69432498215 mal gedreht

( \(\small{ n_{max} = \frac{ \varphi_2 } {2\pi} = \frac{ 305.9554672709019837888\ rad } {2\pi} = 48.69432498215 }\) )

Der Schlauch selber hat sich \(n_{max} - n_{min} = 48.69432498215- 6.48780487805 = 42.2065201041\) mal gedreht.

Jetzt berechnen wir die Fläche unserer Spirale indem wir den größten Radius der Spirale bei \(\varphi_2 \)  also \(r(\varphi_2)\) berechnen.

wäre noch die halbe Klemmenbreite von \(\frac{k}{2} = \frac{2.5\ cm}{2} = 1.25\ cm\) zu adieren, wie es asinus vorgeschlagen hat.

\(\small{ \begin{array}{rcll} r(\varphi_2) &=& r({305.9554672709019837888}) \\ r(\varphi_2) &=&a \cdot 305.9554672709019837888\\ &=& 99.823366213417\ cm\\\\ r_{Kreis} &=& r(\varphi_2) + \frac{k}{2}\\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417\ cm + \frac{2.5\ cm}{2} \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 101.073366213417034926541238\dots cm \end{array} }\)

Die Kreisfläche um die Spirale wäre:

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{\text{Kreis um die Spirale}} &=& \pi\cdot r_{Kreis}^2 \\ &=& \pi\cdot r_{101.073366213417034926541238\dots cm}^2\\ &=& \pi\cdot r_{101.073366213417034926541238\dots cm}^2 \\ &=& 32093.9618941428\ cm^2 \\ &=& 3.20939618941428\ m^2 \\ \end{array} }\)

Die reine Spiralfläche hingegen wäre etwas kleiner.

Die parallele archimedische Spirale, die den Flächeninhalt bestimmt, lautet

\(r_{\parallel}(\varphi) = r(\varphi)+\frac{k}{2} = a\cdot \varphi +\frac{k}{2} \)

Die Sektorformel von Leibniz berechnet den Flächeninhalt und lautet
\(\small{ \begin{array}{rcll} A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { r(\varphi)^2\ d\varphi } \\ A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \end{array} }\)

Nur die letzte Umdrehung liefert den Flächenanteil

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale} &=& \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_2-2\pi}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \\ \dots \\ A_{Spirale}&=&\frac{D^2}{12\pi}(3\varphi^2_2 -6\varphi_2\pi + 4\pi^2) +\frac{D\cdot k}{2}\cdot(\varphi_2-\pi)+\frac{k^2}{4}\pi \\ A_{Spirale}&=&31447.4234850739\ cm^2 \\ A_{Spirale}&=&3.14474234850739\ m^2 \\ \end{array} }\)

Nochmal ohne Schreibfehler:

Hallo Ich möchte einen 150 Meter lange Poolabsorberschlauch16 mm Durchmesser 

(breite der Klemmen 25mm)spiralförmig auf einer Platte verschrauben.

Wegen der Steifheit des schlauches ist der kleinste Durchmesser der Spirale mindestens 25 cm.

Wie groß wir die Platte ? Mfg H W Birth

Ich versuche erstmal die Frage zu beantworten, wie groß die Spirale wird.

Ich gehe von einer archimedischen Spirale aus, die den Vorteil hat,

das ihre Spiralarme immer gleichen Abstand \( a\cdot 2\pi \) haben.

Die Gleichung einer arithmetischen Spirale lautet mathematisch \(r(\varphi) = a\cdot \varphi \),

wobei \(\varphi \) der Winkelfortschritt ist und a ein Parameter der Spirale ist,

der sich aus dem gegebenen Abstand der Spiralarme(Schläuche) berechnen läßt.

Wir definieren:

\(\small{ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ k = \text{ Klemmenbreite } = 2.5\ cm \\ D = \text{ Abstand der Schläuche, wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{k+s}{2} = \frac{2.5+1,6}{2} = 2.05\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} D &=& a\cdot 2\pi\\ a &=& \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \end{array}\)

Der Winkelfortschritt \(\varphi \) beginnt mit \( \varphi_1\), wenn die Spirale den Mindestabstand M erreicht hat.

Wir definieren:\(\small{ m = \text{ Innenkreisdurchmesser } = 25\ cm \\ s = \text{ Schlauchdurchmesser } = 1.6\ cm \\ M = \text{ Mindestabstand M vom Mittelpunkt,wie es asinus bereits festgelegt hat } =\frac{m+s}{2} = \frac{25+1,6}{2} = 13.3\ cm }\)

\(\begin{array}{rcll} M &=& a\cdot \varphi_1 \\ \varphi_1 &=& \frac{M}{a} = M\cdot \frac{ 2\pi}{D} = 13.3\ cm\cdot \frac{ 2\pi}{2.05\ cm} = 40.7640802856\ rad \end{array}\)

Wir stellen fest,

pro \(2\pi\) Winkelfortschritt vergrößert sich der Abstand zum Mittelpunkt \((r(\varphi))\) um \(2.05\ cm\)

Der Schlauch startet bei einem Winkel von \( \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\). 

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 6.48780487805 mal gedreht. 

(\(\small{ n_{min} = \frac{ \varphi_1 } {2\pi} = \frac{ 40.7640802856\ rad } {2\pi} = 6.48780487805 }\))

Nun kommen wir zur Länge der Spirale ( Länge des Schlauches ).

Die Herleitung erspare ich mir an dieser Stelle, doch soviel: 

Die Parametergleichung einer archimedischen Spirale lautet:

\(x = a\cdot \varphi \cdot \cos{(\varphi)} \\ y = a\cdot \varphi \cdot \sin{(\varphi)}\\ \dot{x} = a \cdot [ \cos{(\varphi)}- \varphi \cdot \sin{(\varphi)} ]\\ \dot{y} = a \cdot [ \varphi \ cdot \cos{(\varphi)}+\sin{(\varphi)} ]\\ L = \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 }\ d\varphi }\\ L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { \sqrt{1+(\varphi)^2 }\ d\varphi }\)

Wenn man \(\varphi = \sinh{(z)}\) substituiert, erhält man \(L = a\cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} {\cosh{(z)}^2} \ dz\)

Durch partielle Integration erhält man als Ergebnis \(L = \frac{a}{2} \left[ z+\frac{ \sinh{(2z)} }{2} \right]_{\varphi_1}^{\varphi_2} \text{ mit } z = arsinh(\varphi)\) 

In der Literatur findet man die Umformung \(L = \frac{a}{2}\left[ \varphi \cdot \sqrt{1+(\varphi)^2 } + \ln{~( \varphi + \sqrt{1+(\varphi)^2 } ~) } \right]_{\varphi_1}^{\varphi_1}\)

Vorteilhafter ist, für die weitere Berechnung, die kurze Form zu nehmen.

Wir kennen bereits den Winkelfortschritt \(\varphi_1\) am Anfang der Schlauchaufwicklung.

Und wir haben die Schlauchlänge von 150 m.

Wir benötigen also den Winkelfortschritt \(\varphi_2\) am Ende der Sprirale(Schlauchaufwicklung).

\(\small{ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} = z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] \qquad z_1 = arsinh(\varphi_1) \quad z_2 = arsinh(\varphi_2) }\)

\(\begin{array}{rcll} z_1 &=& arsinh(\varphi_1) \qquad \varphi_1 = 40.7640802856\ rad\\ z_1 &=& arsinh(40.7640802856) \\ z_1 &=& 4.401098902515\\ [z_1 + \frac12 \sinh{(2z_1)} ] &=& 1666.611265232 \end{array}\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} - 1666.611265232 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{a} + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad a = \frac{D}{ 2\pi} = \frac{2.05\ cm}{ 2\pi} = 0.32626763334 \\ 15000\ cm \cdot \frac{2}{0.32626763334 } + 1666.611265232 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ 93615.66454 &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \\ \end{array} }\)

Ich setze \(K=93615.66454\) und erhalten 

\(\small{ \begin{array}{rcll} K &=& z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)} \qquad \cdot 2\\ 2K &=& 2z_2 + \frac12 \sinh{(2z_2)}\\ \end{array} }\)

Ersetzen wir noch \(z_2 = \frac12 \bar{z}_2\) so erhalten wir schließlich \(2K = \bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) }\)

\(\bar{z}_2\) kann nur mit einem Iterationsverfahren, wie Newton-Raphson gelöst weren.

Iteration von \(\bar{z}_2 + \frac12 \sinh{(\bar{z}_2) } -2K=0\) zur Bestimmung von \(\bar{z}_2, z_2\) und \(\varphi_2\) :

Die 1. Ableitung lautet \(1+\cosh{ (\bar{z}_2) }\)

Den Startwert von \(Z_0\) setze ich auf 13.

\(\text{1. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -2\cdot 93615.66454 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& Z_0 - \frac{ Z_0 + \frac12 \sinh{(Z_0) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (Z_0) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 13 + \frac12 \sinh{(13) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (13) } } \\ Z_1 &=& 13 - \frac{ 33988.3669} { 221207.696 } \\ Z_1 &=& 12.84635088 \end{array}\)

 \(\text{2. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_2 &=& 12.84635088 - \frac{ 12.84635088 + \frac12 \sinh{(12.84635088 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.84635088 ) } } \\ Z_2 &=& 12.84635088 - \frac{ 2482.379952} { 189701.8619 } \\ Z_2 &=& 12.83386519 \end{array}\)

\(\text{3. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 12.83386519 + \frac12 \sinh{(12.83386519 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83386519 ) } } \\ Z_3 &=& 12.83386519 - \frac{ 128.545428} { 187348.0409} \\ Z_3 &=& 12.83317906 \end{array}\)

\(\text{4. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 12.83317906 + \frac12 \sinh{(12.83317906 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317906 ) } } \\ Z_4 &=& 12.83317906 - \frac{ 0.0442938} { 187219.5405 } \\ Z_4 &=& 12.83317882 \end{array}\)

\(\text{5. Iteration}\\ \begin{array}{rcll} Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 12.83317882 + \frac12 \sinh{(12.83317882 ) } -187231.3291 } { 1+\cosh{ (12.83317882 ) } } \\ Z_5 &=& 12.83317882 - \frac{ 0.000315} { 187219.4956 } \\ Z_5 &=& 12.83317882 \quad \text{ Wert ändert sich nicht mehr, das Ende der Iteration ist erreicht} \end{array}\)

\(\begin{array}{rcll} \bar{z}_2 = Z_5 &=& 12.8331788 \\ z_2 &=& \frac12 \bar{z}_2\\ &=& \frac { 12.8331788 }{2} \\ &=& 6.4165894\\\\ \varphi_2 &=& \sinh(z_2)\\ &=& \sinh(6.4165894)\\ \varphi_2 &=& 305.955467\dots \ rad\\ \end{array}\)

Der genaue Wert für \(\varphi_2\) wäre \(305.955467270901983788847109700863367400\dots\) rad

Bis dahin hat sich unsere archimedische Spirale bereits 48.69432498215 mal gedreht. 

(\(\small{ n_{max} = \frac{ \varphi_2 } {2\pi} = \frac{ 305.9554672709019837888\ rad } {2\pi} = 48.69432498215 }\))

Der Schlauch selbst hat sich

\(n_{max} - n_{min} = 48.69432498215- 6.48780487805 = 42.2065201041\) mal gedreht.

Jetzt berechnen wir die Fläche unserer Spirale indem wir den größten Radius der Spirale bei \(\varphi_2\)   

also \( r(\varphi_2)\) berechnen,

wäre noch die halbe Klemmenbreite von\( \frac{k}{2} = \frac{2.5\ cm}{2} = 1.25\ cm\) zu adieren, 

wie es asinus vorgeschlagen hat.

\(\small{ \begin{array}{rcll} r(\varphi_2) &=& r({305.9554672709019837888}) \\ r(\varphi_2) &=&a \cdot 305.9554672709019837888\\ &=& 99.823366213417\ cm\\\\ r_{Kreis} &=& r(\varphi_2) + \frac{k}{2}\\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417\ cm + \frac{2.5\ cm}{2} \\ r_{Kreis} &=& 99.823366213417 + 1.25 \\ r_{Kreis} &=& 101.073366213417034926541238\dots cm \end{array} }\)

Die Kreisfläche um die Spirale wäre:

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{\text{Kreis um die Spirale}} &=& \pi\cdot r_{Kreis}^2 \\ &=& \pi\cdot (101.073366213417034926541238\dots cm)^2\\ &=& 32093.9618941428\ cm^2 \\ &=& 3.20939618941428\ m^2 \\ \end{array} }\)

Die reine Spiralfläche hingegen wäre etwas kleiner.

Die parallele archimedische Spirale, den den Flächeninhalt bestimmt, lautet

\(r_{\parallel}(\varphi) = r(\varphi)+\frac{k}{2} = a\cdot \varphi +\frac{k}{2}\)

Die Sektorformel von Leibniz berechnet den Flächeninhalt und lautet: 

\(\small{ \begin{array}{rcll} \boxed{~ A= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { r(\varphi)^2\ d\varphi } ~}\\ \end{array} }\)

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale}= \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \end{array} }\)

Nur die letzte Umdrehung liefert den Flächenanteil.

\(\small{ \begin{array}{rcll} A_{Spirale} &=& \frac12 \cdot \int \limits_{\varphi_2-2\pi}^{\varphi_2} { (a\cdot \varphi +\frac{k}{2})^2\ d\varphi } \\ \dots \\ A_{Spirale}&=&\frac{D^2}{12\pi}(3\varphi^2_2 -6\varphi_2\pi + 4\pi^2) +\frac{D\cdot k}{2}\cdot(\varphi_2-\pi)+\frac{k^2}{4}\pi \\ A_{Spirale}&=&31447.4234850739\ cm^2 \\ A_{Spirale}&=&3.14474234850739\ m^2 \\ \end{array} }\)

Hallo heureka,

nomen est omen!

So eine phantastische Mathestunde habe ich noch nicht erlebt.

Meine Mathelehrer mögen mir verzeihen, aber dass ein Problem in dieser Ausführlichkeit und Genauigkeit, absolut nachvollziehbar, dargestellt werden kann, das kannte ich so noch nicht.

radix hat die richtigen Worte gefunden, um deine Leistung zu würdigen.

Auch ich möchte mich für diese großartige Arbeit bei dir bedanken.

Vielen herzlichen Dank!

asinus :- )

!

Vielen Dank an radix und asinus.

Auch wenn ich ab der Hälfte nicht mehr mitgekommen bin, hört sich das für mich wie von einem Mathematikprofessor (der du wahrscheinlich auch bist) geschrieben an. Ich glaube da hätte meine frühere Mathelehrerin kaum ein Wort von verstanden, geschweige den so eine Gleichung aufstellen können. Ich finde das bewundernswert.

Mach auf jeden Fall weiter so