+26403 Lass f eine Polynom Funktion mit Echtkoeffizienten sein. Wenn -7, 9, -8 +7i und 2-2i die Nullstellen von f sind, was ist der kleinst moeglichste Grad in der Standart Form?
\(\small{ \begin{array}{lcll} \text{Sind } z_1, \ \cdots \ , z_n \text{ die Lösungen der Gleichung } z^n + a_{n – 1}z^{n – 1}+ \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0 = 0 \text{ mit } a_{n – 1}, \ \cdots \ , \ a_0 \in C,\\ \text{so gilt: } (z – z_1) \cdot (z – z_2) \cdot (z – z_3) \cdot \ \cdots \ \cdot (z – z_n) = z^n + a_{n – 1} z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0\\\\ \text{Ist } z = a + b · i \text{ eine Lösung einer Polynomgleichung } a_n z^n + a_{n – 1}z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_0 = 0 \text{ mit reellen}\\ \text{Koeffizienten, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl } z^* = a – b · i \text{ eine Lösung der Gleichung. }\\\\ f(x) = (x+7)\cdot (x-9)\cdot [x-(-8+7i)]\cdot [x-(-8-7i)] \cdot [x-(2-2i)]\cdot [x-(2+2i)] \\ = x^{\color{red}6} +10\ x^5-30\ x^4-1194\ x^3-2039\ x^2+18604\ x-56952 = 0 \end{array} }\)
Der kleinst mögliche Grad in der Standard Form ist 6.
Siehe auch 7.5.2 (Gleichungen höheren Grads, Fundamentalsatz der Algebra) in:
http://arthur.hpt.at/php/online_links/links/LP_21640.pdf
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