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 Lass f eine Polynom Funktion mit Echtkoeffizienten sein. Wenn -7, 9, -8 +7i und 2-2i die Nullstellen von f sind, was ist der kleinst moeglichste Grad in der Standart Form?

Und nochmal auf Englisch fuer die, die Englisch sprechen: Let f be a polynomial function with real coefficients. If -7, 9, -8+7i, and 2-2i are zeros of f, what is the smallest possible degree that f can have?

Ja ich bin schlecht im Uebersetxen von Englisch auf Deutsch, deshalb habe ich die Englische Variante auch nochmal hinzugepackt.

Ich verstehe  nicht, was ich hier machen soll. Kann mir jemand den LoesungsWEG zeigen bitte?

 07.12.2015

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 #2
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Lass f eine Polynom Funktion mit Echtkoeffizienten sein. Wenn -7, 9, -8 +7i und 2-2i die Nullstellen von f sind, was ist der kleinst moeglichste Grad in der Standart Form?

 

\(\small{ \begin{array}{lcll} \text{Sind } z_1, \ \cdots \ , z_n \text{ die Lösungen der Gleichung } z^n + a_{n – 1}z^{n – 1}+ \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0 = 0 \text{ mit } a_{n – 1}, \ \cdots \ , \ a_0 \in C,\\ \text{so gilt: } (z – z_1) \cdot (z – z_2) \cdot (z – z_3) \cdot \ \cdots \ \cdot (z – z_n) = z^n + a_{n – 1} z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0\\\\ \text{Ist } z = a + b · i \text{ eine Lösung einer Polynomgleichung } a_n z^n + a_{n – 1}z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_0 = 0 \text{ mit reellen}\\ \text{Koeffizienten, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl } z^* = a – b · i \text{ eine Lösung der Gleichung. }\\\\ f(x) = (x+7)\cdot (x-9)\cdot [x-(-8+7i)]\cdot [x-(-8-7i)] \cdot [x-(2-2i)]\cdot [x-(2+2i)] \\ = x^{\color{red}6} +10\ x^5-30\ x^4-1194\ x^3-2039\ x^2+18604\ x-56952 = 0 \end{array} }\)

 

Der kleinst mögliche Grad in der Standard Form ist 6.

 

Siehe auch 7.5.2 (Gleichungen höheren Grads, Fundamentalsatz der Algebra) in: 

http://arthur.hpt.at/php/online_links/links/LP_21640.pdf

 

laugh

 07.12.2015
 #1
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 07.12.2015
bearbeitet von heureka  07.12.2015
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 #2
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Lass f eine Polynom Funktion mit Echtkoeffizienten sein. Wenn -7, 9, -8 +7i und 2-2i die Nullstellen von f sind, was ist der kleinst moeglichste Grad in der Standart Form?

 

\(\small{ \begin{array}{lcll} \text{Sind } z_1, \ \cdots \ , z_n \text{ die Lösungen der Gleichung } z^n + a_{n – 1}z^{n – 1}+ \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0 = 0 \text{ mit } a_{n – 1}, \ \cdots \ , \ a_0 \in C,\\ \text{so gilt: } (z – z_1) \cdot (z – z_2) \cdot (z – z_3) \cdot \ \cdots \ \cdot (z – z_n) = z^n + a_{n – 1} z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_1 \cdot z + a_0\\\\ \text{Ist } z = a + b · i \text{ eine Lösung einer Polynomgleichung } a_n z^n + a_{n – 1}z^{n – 1} + \ \cdots \ + a_0 = 0 \text{ mit reellen}\\ \text{Koeffizienten, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl } z^* = a – b · i \text{ eine Lösung der Gleichung. }\\\\ f(x) = (x+7)\cdot (x-9)\cdot [x-(-8+7i)]\cdot [x-(-8-7i)] \cdot [x-(2-2i)]\cdot [x-(2+2i)] \\ = x^{\color{red}6} +10\ x^5-30\ x^4-1194\ x^3-2039\ x^2+18604\ x-56952 = 0 \end{array} }\)

 

Der kleinst mögliche Grad in der Standard Form ist 6.

 

Siehe auch 7.5.2 (Gleichungen höheren Grads, Fundamentalsatz der Algebra) in: 

http://arthur.hpt.at/php/online_links/links/LP_21640.pdf

 

laugh

heureka 07.12.2015
 #3
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Ich bewundere dein Koennen in Mathe, allerdings habe ich nichts von deinem Rechenweg verstanden. Es tut mir leid. Aber dennoch vielen Dank!

 07.12.2015

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