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Bei folgender Aufgabe habe ich 2^(n-1) als Bildungsgesetz ermittelt

2^0 =1 =1

2^0+2^1 =1 + 2 =3

2^0+2^1+2^2 =1 + 2 + 4 =7

2^0+2^1+2^2+2^3 =1 + 2 + 4 + 8 =15

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 =31

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 =63

 

Bei dieser Folge sehe ich aber kein Bildungsgesetz

3^0 =1 =1

3^0+3^1 =1 + 3 =4

3^0+3^1+3^2 =1 + 3 + 9 =13

3^0+3^1+3^2+3^3 =1 + 3 + 9 + 27 =40

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 =121

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =364

 

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank.

 08.12.2015

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 #2
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+5

Summe einer Geometrische Reihe

 

\(\begin{array}{rcll} s &=& 1 &+& a + a^2+a^3+a^4+a^5+\ \cdots \ a^{n-2} + a^{n-1} \\ - a\cdot s &=& && a + a^2+a^3+a^4+a^5+\ \cdots \ a^{n-2} + a^{n-1} +a^n\\ \hline s - a\cdot s &=& 1 - a^n \\ (1-a)s &=& 1 - a^n \\ s &=& \frac{ 1 - a^n }{1-a} \\ s &=& \frac{ a^n -1 }{a-1} \\ \end{array}\)

 

2^0 =1 =1

2^0+2^1 =1 + 2 =3

2^0+2^1+2^2 =1 + 2 + 4 =7

2^0+2^1+2^2+2^3 =1 + 2 + 4 + 8 =15

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 =31

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 =63

 

Geometrische Reihe a = 2, Bildungsgesetz:

 

 \(\begin{array}{rcll} s &=& \frac{ 2^n -1 }{2-1}\\\\ s &=& \frac{ 2^n -1 }{1}\\\\ \mathbf{s} & \mathbf{=} & \mathbf{2^n -1} \\ \\ \end{array}\\ \begin{array}{lcll} n=1: & s=2^1-1 &=& 1 \\ n=2: & s=2^2-1 &=& 3 \\ n=3: & s=2^3-1 &=& 7 \\ \cdots \\ n=6: & s=2^6-1 &=& 63 \\ \end{array} \)

 

 

3^0 =1 =1

3^0+3^1 =1 + 3 =4

3^0+3^1+3^2 =1 + 3 + 9 =13

3^0+3^1+3^2+3^3 =1 + 3 + 9 + 27 =40

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 =121

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =364

 

Geometrische Reihe a = 3, Bildungsgesetz:

 

\(\begin{array}{rcll} s &=& \frac{ 3^n -1 }{3-1}\\\\ \mathbf{ s }& \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{ 3^n -1 }{2} }\\ \\ \end{array}\\ \begin{array}{lcll} n=1: & s= \frac{ 3^1-1 }{2} &=& 1 \\ n=2: & s= \frac{ 3^2-1 }{2} &=& 4 \\ n=3: & s= \frac{ 3^3-1 }{2} &=& 13 \\ \cdots \\ n=6: & s= \frac{ 3^6-1 }{2} &=& 364 \\ \end{array}\)

 

laugh

 08.12.2015
bearbeitet von heureka  08.12.2015
bearbeitet von heureka  08.12.2015
 #1
avatar+14537 
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Guten Morgen !

 

Versuche es mal so:


\(\frac{1}{2}*(3^{n}-1)\)

 

 

für n = 5    =>    0.5*(3^5-1) = 121

für n = 6    =>    0.5*(3^6-1) = 364

 

Gruß radix smiley !

 08.12.2015
 #2
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Summe einer Geometrische Reihe

 

\(\begin{array}{rcll} s &=& 1 &+& a + a^2+a^3+a^4+a^5+\ \cdots \ a^{n-2} + a^{n-1} \\ - a\cdot s &=& && a + a^2+a^3+a^4+a^5+\ \cdots \ a^{n-2} + a^{n-1} +a^n\\ \hline s - a\cdot s &=& 1 - a^n \\ (1-a)s &=& 1 - a^n \\ s &=& \frac{ 1 - a^n }{1-a} \\ s &=& \frac{ a^n -1 }{a-1} \\ \end{array}\)

 

2^0 =1 =1

2^0+2^1 =1 + 2 =3

2^0+2^1+2^2 =1 + 2 + 4 =7

2^0+2^1+2^2+2^3 =1 + 2 + 4 + 8 =15

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 =31

2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 =63

 

Geometrische Reihe a = 2, Bildungsgesetz:

 

 \(\begin{array}{rcll} s &=& \frac{ 2^n -1 }{2-1}\\\\ s &=& \frac{ 2^n -1 }{1}\\\\ \mathbf{s} & \mathbf{=} & \mathbf{2^n -1} \\ \\ \end{array}\\ \begin{array}{lcll} n=1: & s=2^1-1 &=& 1 \\ n=2: & s=2^2-1 &=& 3 \\ n=3: & s=2^3-1 &=& 7 \\ \cdots \\ n=6: & s=2^6-1 &=& 63 \\ \end{array} \)

 

 

3^0 =1 =1

3^0+3^1 =1 + 3 =4

3^0+3^1+3^2 =1 + 3 + 9 =13

3^0+3^1+3^2+3^3 =1 + 3 + 9 + 27 =40

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 =121

3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5 =1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =364

 

Geometrische Reihe a = 3, Bildungsgesetz:

 

\(\begin{array}{rcll} s &=& \frac{ 3^n -1 }{3-1}\\\\ \mathbf{ s }& \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{ 3^n -1 }{2} }\\ \\ \end{array}\\ \begin{array}{lcll} n=1: & s= \frac{ 3^1-1 }{2} &=& 1 \\ n=2: & s= \frac{ 3^2-1 }{2} &=& 4 \\ n=3: & s= \frac{ 3^3-1 }{2} &=& 13 \\ \cdots \\ n=6: & s= \frac{ 3^6-1 }{2} &=& 364 \\ \end{array}\)

 

laugh

heureka 08.12.2015
bearbeitet von heureka  08.12.2015
bearbeitet von heureka  08.12.2015
 #3
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0

Vielen Dank,

für eure schnelle Hilfe.

 08.12.2015

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