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avatar+134 

Vielleicht könnt Ihr mir helfen!

 31.10.2015

Beste Antwort 

 #1
avatar+26256 
+39

Gib eine Formel an, welche diese Gleichungen für allgemeines n=2,3... weiterführt und beweise die Formel mit vollständiger Induktion.

 

Induktionsanfang:

\(\left(1-\frac12 \right) = \frac12 \qquad \text{Die Behauptung gilt für } n=2\)

 

Induktionsvoraussetzung:

\(\text{Es gelte }\quad \prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n+1}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1 :\)

\(\begin{array}{rcl} \prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\underbrace{\prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right)}_{=\frac{1}{n}\ (\text{Induktionsannahme}) } \cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n+1-1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{n}{n}\cdot \left(\frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ = \frac{1}{n+1} & = & \frac{1}{n+1} \\ \end{array}\)

 

Im Induktionsschritt wurde bewiesen,

dass die Aussage - unter Voraussetzung, dass sie für n = 2 gilt -

auch für deren Nachfolger n+1 zutrifft. Also ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen \(n\ge2\) wahr. 

\(n \in N\)

 

laugh

 02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
 #1
avatar+26256 
+39
Beste Antwort

Gib eine Formel an, welche diese Gleichungen für allgemeines n=2,3... weiterführt und beweise die Formel mit vollständiger Induktion.

 

Induktionsanfang:

\(\left(1-\frac12 \right) = \frac12 \qquad \text{Die Behauptung gilt für } n=2\)

 

Induktionsvoraussetzung:

\(\text{Es gelte }\quad \prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n}\)

 

Induktionsbehauptung:

\(\prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) = \frac{1}{n+1}\)

 

Beweis des Induktionsschritts \(n\rightarrow n+1 :\)

\(\begin{array}{rcl} \prod \limits_{i=2}^{n+1}\left( 1 - \frac{1}{i} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\underbrace{\prod \limits_{i=2}^{n}\left( 1 - \frac{1}{i} \right)}_{=\frac{1}{n}\ (\text{Induktionsannahme}) } \cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n+1-1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{n}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ =\frac{n}{n}\cdot \left(\frac{1}{n+1} \right) & \overset{?}{=} & \frac{1}{n+1} \\ = \frac{1}{n+1} & = & \frac{1}{n+1} \\ \end{array}\)

 

Im Induktionsschritt wurde bewiesen,

dass die Aussage - unter Voraussetzung, dass sie für n = 2 gilt -

auch für deren Nachfolger n+1 zutrifft. Also ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen \(n\ge2\) wahr. 

\(n \in N\)

 

laugh

heureka 02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
bearbeitet von heureka  02.11.2015
 #2
avatar+134 
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Besten Dank!!!!

War eine große Hilfe!!!

 08.11.2015

13 Benutzer online

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