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Hallo, hier kommt die Lösung:

( + )*(-x)=-x-1

\(\left( 1+\dfrac{1}{x} \right) \cdot (-x) = -x-1\)

was bedeutet sinh?

Was der sin(x) im Einheitskreis \((x^2+y^2)=1 \) ist, das ist der sinh(x) in der Hyperbel \((x^2-y^2)=1\)

Was der cos(x) im Einheitskreis \((x^2+y^2)=1 \) ist, das ist der cosh(x) in der Hyperbel \((x^2-y^2)=1\)

Einheitskreis:        \((x^2+y^2)=1 \)   x = cos(z) und y = sin(z)       \(\cos^2{(z)} + \sin^2{(z)} = 1\)

Hyperbelfunktion:  \((x^2-y^2)=1\)  x = cosh(z) und y = sinh(z)   \(\cosh^2{(z)}- \sinh^2{(z)} = 1\)

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sinh und cosh zur Parametrisierung der Hyperbel verwendet werden können:

ganz in Analogie zum Kreis , der durch Sinus und Kosinus parametrisiert werden kann:

Guten Morgen

hier noch der Funktionsgraph für    \(f(x)=sinh(x)\)    (x in Rad )

Gruß radix !

Guten Morgen,

hier der Funktionsgraph für  \(f(x)=-4x^4+4x^3-4x^2+1\)

und die Wertetabelle.

Gruß radix !

Guten Morgen,

im Internet findest du mehrere Antworten auf deine Frage:

Guten Morgen,

durch Null darf nicht dividiert werden  ( nicht definiert ! )

Guten Morgen!

Fläche des allgemeinen Dreiecks:      \(A=\frac{g*h}{2}\)

\(A*2=g*h\)     =>      \(g=\frac{2*A}{h}\)         =>     \(h=\frac{2*A}{g}\)

 Hier noch ein sehr guter Dreiecksrechner:

Wäre der koeff. von x^4, wenn man (x+2)^7 auslöst 420 ?  NEIN

\(\begin{array}{rcl} (x+2)^7 \\ &=& \binom70 x^7 \cdot 2^0 \\ &=& \binom71 x^6 \cdot 2^1 \\ &=& \binom72 x^5 \cdot 2^2 \\ &=& \color{red}{\mathbf{ \binom73 x^4 \cdot 2^3 }}\\ &=& \binom74 x^3 \cdot 2^4 \\ &=& \binom75 x^2 \cdot 2^5 \\ &=& \binom76 x^1 \cdot 2^6 \\ &=& \binom77 x^0 \cdot 2^7 \\ \end{array}\\ \begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^4 \text{ in } (x+2)^7 \text{ ist } 2^3 \cdot \binom73 \qquad &|& \qquad \binom73 = \frac{7}{3}\cdot\frac{6}{2}\cdot\frac{5}{1} = 35\\ 2^3 \cdot \binom73 &= & 8 \cdot 35 = 280 \end{array}\)

Der Koeffizient von \(x^4\) ist 280

\((x+2)^7 = 128+448 x+672 x^2+560 x^3+\mathbf{280} x^4+84 x^5+14 x^6+x^7\)

Wie bekommt man die 0-stellen aus f(x)= (-1)x^4+4x³-4x²+1 ?

1. Nullstelle \( x_1 = 1 \) durch raten:       ( x = 1 einsetzen in \(-x^4+4x^3-4x^2+1\) )

   \(\begin{array}{rcl} (-1)\cdot 1^4+4\cdot 1^3-4\cdot 1^2 + 1 &=& 0\\ -1+4-4+1&=&0 \end{array}\)

weitere Nullen durch Polygondivision:   \(-x^4+4x^3-4x^2+1 : ( x-1)= -x^3+3x^2-x-1\)

Wir erhalten: \(( x-1)(-x^3+3x^2-x-1)=0\)

2. Nullstelle \(x_2 = 1\) durch raten:   ( x = 1 einsetzen in \(-x^3+3x^2-x-1\))

   \(\begin{array}{rcl} -1\cdot 1^3+ 3\cdot 1^2 -1 - 1 &=& 0\\ -1+3-1+1&=&0 \end{array}\)

weitere Nullen durch Polygondivision:  \(-x^3+3x^2-x-1 : ( x-1)= -x^2+2x+1\)

Wir erhalten: \((x-1)(x-1)(-x^2+2x+1)=0\)

3. und 4. Nullstelle:

\(\begin{array}{rcl} (-x^2+2x+1)&=&0 \qquad | \qquad \cdot(-1)\\ x^2-2x-1&=&0 \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{2^2-4(-1)} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{8} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm 2\cdot\sqrt{2} }{2} \\ x_{3,4} &=& 1 \pm \sqrt{2}\\ x_3 &=& 1 + \sqrt{2}\\ x_4 &=& 1 - \sqrt{2} \end{array} \)

Probe:

\(-(x-1)(x-1)(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2}) = 0\)

\(x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ x_3 = 1+\sqrt{2}\\ x_4 = 1-\sqrt{2}\)

Wäre der koeff. von x^4, wenn man (x+2)^7 auslöst 420 ?

Wenn ja, dann hab ich es glaub verstanden wie man das macht

eva,ida und pia gehen eislaufen.eva geht alle 10 tage,ida alle 12 tage un pia alle 16 tage.wenn sie einmal gemeinsam gehen,nach wie vielen tagen treffen sie einander wieder?(kleinste gemeinsame vielfache)

Die Vielfachen von 10 sind:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240 ...

Die Vielfachen von 12 sind:

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216,  228, 240,  …

Die Vielfachen von 16 sind:

16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240,  …

Die gemeinsamen Vielfachen von 10 und 12 und 16 sind also 240, ...

und das kleinste von diesen ist 240

Sie treffen sich nach 240 Tagen wieder.   

    oder

      240 = 10 * 24  eva trifft die anderen nach jedem 24. Eislaufen

      240 = 12 * 20  ida trifft die anderen nach jedem 20. Eislaufen

      240 = 16 * 15 pia trifft die anderen nach jedem 15. Eislaufen

wie ist der koeffzient von x² wenn man (x+2)^6 auflöst ?

\(\small{ \begin{array}{rcl} (x+2)^6 = \binom60 x^6 \cdot 2^0 + \binom61 x^5 \cdot 2^1 + \binom62 x^4 \cdot 2^2 + \binom63 x^3 \cdot 2^3 + \color{red}{\mathbf{ \binom64 x^2 \cdot 2^4}}\color{black} + \binom65 x^1 \cdot 2^5 + \binom66 x^0 \cdot 2^6 \end{array} }\)

\(\begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^2 \text{ ist } 2^4 \cdot \binom64 \\ \qquad \binom64 = \binom62 = \dfrac{6}{2}\cdot\dfrac{5}{1} = 15\\ 2^4 \cdot \binom64 &= & 16 \cdot 15 = 240 \end{array}\\ \)

Der Koeffizient von \(x^2\) ist 240

Hallo anonymous!

Wie ist der Koeffzient von x², wenn man (x+2)^6 auflöst ?

(X + 2)⁶ = ((x + 2)²)³

= (x² + 4x + 4) * (x² + 4x + 4) * (x² + 4x + 4)

= (x⁴ + 4x³ + 4x² + 4x³ +16x² + 16x + 4x² + 16x + 16) + (x² + 4x + 4)

= x⁶ + 4x⁵ + 4x⁴ + 4x⁵ + 16⁴ + 16x³ + 4x⁴ + 16x³ + 16x² + 4x⁵ + 16x⁴ + 16x³ + 16x⁴ + 64x³ + 64x² + 16x³  + 64x² + 64x + 4x⁴ + 16x³ + 16x² + 16x³ + 64x² + 64x + 16x² + 64x + 64

= (X + 2)⁶ + (240x² - 240x²)

Der Koeffizient von x² ist 240         (wenn ich mich nicht verrechnet habe).

Gruß asinus  :- ) 

Hallo heureka! Lässt sich das auch einfacher rechnen?

Hallo!

Leon und Max schwimmen 1000m um die Wette. Leon hat bereits 3/8 und Max hat 2/5 der Strecke zurückgelassen! Wie viele Meter müssen sie noch schwimmen?

Leon muss noch 1 - 3/8 = 5/8 der Strecke schwimmen. 1000m * 5/8 = 625m

Max muss noch 1 - 2/5 = 3/5 der Strecke schwimmen. 1000m * 3/5 = 600m

Wenn beide die Strecken in der gleichen Zeit geschwommen sind, wird wohl Max den Wettbwerb gewinnen.

Gruß asinus :- )

\(0.9999\overline{9} = 1 = \frac{3}{3}\)

Beweis, siehe:

Nein, denn 3/3 ist gleich 1, da der Zähler dem Nenner entspricht.

Gruß radix !

Hallo,

du kannst es  x-Gleichung,  lineare Gleichung oder Gleichung mit einer Unbekannten nennen.

\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}x= -\frac{1}{2}\)       mit   6 multiplizieren, dann fallen alle Nenner weg !

\(1-4x=-3\)         unstellen !

\(1+3=4x \)

\(4x=4\)

\(x=1\)

Gruß radix !

Hallo,

ich glaube nicht, dass der Taschenrechner spinnt !

\(97:9=10,777...=10,\overline{7}=10\frac{7}{9}\)

Gruß radix !

So könnte dein Kreisdiagramm aussehen!

Gruß radix !

Hier auch noch ein Prozentrechner!

Nach den 3 Beiträgen müsstest du die Prozentrechnung eigentlich verstanden haben.

Ich würde mich über eine kurze Antwort sehr freuen.

Hier also noch einige Beispielaufgaben !

Gruß radix !

Guten Morgen,

hier wird dir die  Prozentrechnung ganz gut erklärt.

Ich wünsche dir viel Erfolg und schicke dir gleich noch einige Beispielaufgaben.

mod(3^111,13)

\(3^{111} \pmod {13} = \ ?\)

SATZ von Euler/Fermat (Euler, 1760)

Für \(n \in N \text{ und } a \in Z \text{ mit } ggT( a, n ) = 1 \text{ gilt: }\\ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n\)

a = 3 und n = 13. ggT(3,13) = 1. Das heißt 3 und 13 sind relativ prim.

Somit können wir berechnen da 13 eine Primzahl ist \(\varphi(p) = p-1.\qquad \varphi(13) = 12\)

Somit gilt nun auch \(3^{\varphi(13)} \equiv 1 \pmod {13}\\ 3^{12} \equiv 1 \pmod {13}\)

3 hoch 12 geteilt durch 13 ergibt den Rest 1!

Nun rechnen wir weiter.

Wir zerlegen den Exponenten 111 = 12 * 9 + 3, damit wir die Zahl 12 in den Exponenten bekommen.

\(\begin{array}{rcl} 3^{111} \pmod {13} \\ & \equiv & 3^{12\cdot 9 + 3}\pmod {13} \\ & \equiv & 3^{12\cdot 9}\cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & (\underbrace{3^{12}}_{=1 \pmod {13}} )^9\cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 1^9 \cdot 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 3^3\pmod {13} \\ & \equiv & 27\pmod {13} \\ & \equiv & 1\pmod {13} \\ \mathbf{3^{111} \pmod {13} }& \mathbf{ \equiv } & \mathbf{1\pmod {13}} \end{array}\)

mod(3^111,13) = 1