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wie ist der koeffzient von x² wenn man (x+2)^6 auflöst ?

 07.10.2015

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 #4
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+40

Wäre der koeff. von x^4, wenn man (x+2)^7 auslöst 420 ?  NEIN

 

 

\(\begin{array}{rcl} (x+2)^7 \\ &=& \binom70 x^7 \cdot 2^0 \\ &=& \binom71 x^6 \cdot 2^1 \\ &=& \binom72 x^5 \cdot 2^2 \\ &=& \color{red}{\mathbf{ \binom73 x^4 \cdot 2^3 }}\\ &=& \binom74 x^3 \cdot 2^4 \\ &=& \binom75 x^2 \cdot 2^5 \\ &=& \binom76 x^1 \cdot 2^6 \\ &=& \binom77 x^0 \cdot 2^7 \\ \end{array}\\ \begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^4 \text{ in } (x+2)^7 \text{ ist } 2^3 \cdot \binom73 \qquad &|& \qquad \binom73 = \frac{7}{3}\cdot\frac{6}{2}\cdot\frac{5}{1} = 35\\ 2^3 \cdot \binom73 &= & 8 \cdot 35 = 280 \end{array}\)

 

Der Koeffizient von \(x^4\) ist 280

 

\((x+2)^7 = 128+448 x+672 x^2+560 x^3+\mathbf{280} x^4+84 x^5+14 x^6+x^7\)

 

laugh

 08.10.2015
 #1
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+4

Hallo anonymous!

 

Wie ist der Koeffzient von x², wenn man (x+2)^6 auflöst ?

 

(X + 2)6 = ((x + 2)2)3

= (x² + 4x + 4) * (x² + 4x + 4) * (x² + 4x + 4)

= (x4 + 4x³ + 4x² + 4x³ +16x² + 16x + 4x² + 16x + 16) + (x² + 4x + 4)

= x6 + 4x5 + 4x4 + 4x5 + 164 + 16x³ + 4x4 + 16x³ + 16x² + 4x5 + 16x4 + 16x³ + 16x4 + 64x³ + 64x² + 16x³  + 64x² + 64x + 4x4 + 16x³ + 16x² + 16x³ + 64x² + 64x + 16x² + 64x + 64

= (X + 2)6 + (240x² - 240x²)

 

Der Koeffizient von x² ist 240         (wenn ich mich nicht verrechnet habe).

 

Gruß asinus  :- )  crying

 

Hallo heureka! Lässt sich das auch einfacher rechnen?

 07.10.2015
 #2
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+35

wie ist der koeffzient von x² wenn man (x+2)^6 auflöst ?

 

\(\small{ \begin{array}{rcl} (x+2)^6 = \binom60 x^6 \cdot 2^0 + \binom61 x^5 \cdot 2^1 + \binom62 x^4 \cdot 2^2 + \binom63 x^3 \cdot 2^3 + \color{red}{\mathbf{ \binom64 x^2 \cdot 2^4}}\color{black} + \binom65 x^1 \cdot 2^5 + \binom66 x^0 \cdot 2^6 \end{array} }\)

 

\(\begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^2 \text{ ist } 2^4 \cdot \binom64 \\ \qquad \binom64 = \binom62 = \dfrac{6}{2}\cdot\dfrac{5}{1} = 15\\ 2^4 \cdot \binom64 &= & 16 \cdot 15 = 240 \end{array}\\ \)

Der Koeffizient von \(x^2\) ist 240

 

laugh

 08.10.2015
bearbeitet von heureka  08.10.2015
 #3
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Wäre der koeff. von x^4, wenn man (x+2)^7 auslöst 420 ?

Wenn ja, dann hab ich es glaub verstanden wie man das macht

 08.10.2015
 #4
avatar+26256 
+40
Beste Antwort

Wäre der koeff. von x^4, wenn man (x+2)^7 auslöst 420 ?  NEIN

 

 

\(\begin{array}{rcl} (x+2)^7 \\ &=& \binom70 x^7 \cdot 2^0 \\ &=& \binom71 x^6 \cdot 2^1 \\ &=& \binom72 x^5 \cdot 2^2 \\ &=& \color{red}{\mathbf{ \binom73 x^4 \cdot 2^3 }}\\ &=& \binom74 x^3 \cdot 2^4 \\ &=& \binom75 x^2 \cdot 2^5 \\ &=& \binom76 x^1 \cdot 2^6 \\ &=& \binom77 x^0 \cdot 2^7 \\ \end{array}\\ \begin{array}{rcl} \text{Der Koeffizient von } x^4 \text{ in } (x+2)^7 \text{ ist } 2^3 \cdot \binom73 \qquad &|& \qquad \binom73 = \frac{7}{3}\cdot\frac{6}{2}\cdot\frac{5}{1} = 35\\ 2^3 \cdot \binom73 &= & 8 \cdot 35 = 280 \end{array}\)

 

Der Koeffizient von \(x^4\) ist 280

 

\((x+2)^7 = 128+448 x+672 x^2+560 x^3+\mathbf{280} x^4+84 x^5+14 x^6+x^7\)

 

laugh

heureka 08.10.2015

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