Nullstellen x^4?

Wie bekommt man die 0-stellen aus f(x)= (-1)x^4+4x³-4x²+1 ?

1. Nullstelle $x_1 = 1$ durch raten:       ( x = 1 einsetzen in $-x^4+4x^3-4x^2+1$ )

   $\begin{array}{rcl} (-1)\cdot 1^4+4\cdot 1^3-4\cdot 1^2 + 1 &=& 0\\ -1+4-4+1&=&0 \end{array}$

weitere Nullen durch Polygondivision:   $-x^4+4x^3-4x^2+1 : ( x-1)= -x^3+3x^2-x-1$

Wir erhalten: $( x-1)(-x^3+3x^2-x-1)=0$

2. Nullstelle $x_2 = 1$ durch raten:   ( x = 1 einsetzen in $-x^3+3x^2-x-1$)

   $\begin{array}{rcl} -1\cdot 1^3+ 3\cdot 1^2 -1 - 1 &=& 0\\ -1+3-1+1&=&0 \end{array}$

weitere Nullen durch Polygondivision:  $-x^3+3x^2-x-1 : ( x-1)= -x^2+2x+1$

Wir erhalten: $(x-1)(x-1)(-x^2+2x+1)=0$

3. und 4. Nullstelle:

$\begin{array}{rcl} (-x^2+2x+1)&=&0 \qquad | \qquad \cdot(-1)\\ x^2-2x-1&=&0 \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{2^2-4(-1)} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{8} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm 2\cdot\sqrt{2} }{2} \\ x_{3,4} &=& 1 \pm \sqrt{2}\\ x_3 &=& 1 + \sqrt{2}\\ x_4 &=& 1 - \sqrt{2} \end{array}$

Probe:

$-(x-1)(x-1)(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2}) = 0$

$x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ x_3 = 1+\sqrt{2}\\ x_4 = 1-\sqrt{2}$

Guten Morgen,

hier der Funktionsgraph für  $f(x)=-4x^4+4x^3-4x^2+1$

und die Wertetabelle.

Gruß radix !