Nullstellen x^4?

Wie bekommt man die 0-stellen aus f(x)= (-1)x^4+4x³-4x²+1 ?

1. Nullstelle \( x_1 = 1 \) durch raten:       ( x = 1 einsetzen in \(-x^4+4x^3-4x^2+1\) )

   \(\begin{array}{rcl} (-1)\cdot 1^4+4\cdot 1^3-4\cdot 1^2 + 1 &=& 0\\ -1+4-4+1&=&0 \end{array}\)

weitere Nullen durch Polygondivision:   \(-x^4+4x^3-4x^2+1 : ( x-1)= -x^3+3x^2-x-1\)

Wir erhalten: \(( x-1)(-x^3+3x^2-x-1)=0\)

2. Nullstelle \(x_2 = 1\) durch raten:   ( x = 1 einsetzen in \(-x^3+3x^2-x-1\))

   \(\begin{array}{rcl} -1\cdot 1^3+ 3\cdot 1^2 -1 - 1 &=& 0\\ -1+3-1+1&=&0 \end{array}\)

weitere Nullen durch Polygondivision:  \(-x^3+3x^2-x-1 : ( x-1)= -x^2+2x+1\)

Wir erhalten: \((x-1)(x-1)(-x^2+2x+1)=0\)

3. und 4. Nullstelle:

\(\begin{array}{rcl} (-x^2+2x+1)&=&0 \qquad | \qquad \cdot(-1)\\ x^2-2x-1&=&0 \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{2^2-4(-1)} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{8} }{2} \\ x_{3,4} &=& \dfrac{2 \pm 2\cdot\sqrt{2} }{2} \\ x_{3,4} &=& 1 \pm \sqrt{2}\\ x_3 &=& 1 + \sqrt{2}\\ x_4 &=& 1 - \sqrt{2} \end{array} \)

Probe:

\(-(x-1)(x-1)(x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2}) = 0\)

\(x_1 = 1 \\ x_2 = 1 \\ x_3 = 1+\sqrt{2}\\ x_4 = 1-\sqrt{2}\)

Guten Morgen,

hier der Funktionsgraph für  \(f(x)=-4x^4+4x^3-4x^2+1\)

und die Wertetabelle.

Gruß radix !