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\(\begin{array}{rcll} 0 &=& 4-4+4-4 \\ 1 &=& \frac44 + 4 - 4\\ 2 &=& \frac44 + \frac44\\ 3 &=& \frac{4+4+4}{4}\\ 4 &=& \frac{4-4}{4}+4\\ 5 &=& \frac{4\cdot 4+4}{4 }\\ 6 &=& \sqrt{4}+4+4-4\\ 7 &=& 4+4- \frac44\\ 8 &=& 4+4+4-4\\ 9 &=& 4+4+ \frac44\\ 10 &=& \sqrt{4} + \sqrt{4}+\sqrt{4} + 4 \\ 11 &=& \frac{4!+4!-4}{4} \\ 12 &=& \sqrt{4} + \sqrt{4} + 4 + 4 \\ 13 &=& \frac{4!+4!+4}{4} \\ 14 &=& 4+4+4+\sqrt{4} \\ 15 &=& 4\cdot 4-\frac44 \\ 16 &=& 4+4+4+4 \\ 17 &=& 4\cdot 4+\frac44 \\ 18 &=& 4\cdot 4+4-\sqrt{4} \\ 19 &=& 4!-4-\frac44 \\ 20 &=& ( 4+\frac44 )\cdot 4 \\ 21 &=& 4!-4+\frac44 \\ 22 &=& (4!)^{ \frac44 }-\sqrt{4} \\ 23 &=& 4!-\sqrt{4}+\frac44 \\ 24 &=& 4\cdot 4 +4+4 \\ 25 &=& 4!+\sqrt{4}-\frac44 \\ 26 &=& (4!)^{ \frac44 }+\sqrt{4} \\ 27 &=& 4!+4-\frac44 \\ 28 &=& (4+4)\cdot 4-4 \\ 29 &=& 4!+4+\frac44 \\ 30 &=& 4\cdot 4 \cdot \sqrt{4} - \sqrt{4} \\ 31 &=& 4!+ \frac{4!+4}{4} \\ 32 &=& 4\cdot 4+4\cdot 4 \\ 33 &=& \Gamma{(4)}^{\sqrt{4}}- \frac{ \Gamma{(4)} } {\sqrt{4} } \\ 34 &=& 4\cdot 4 \cdot \sqrt{4} + \sqrt{4} \\ 35 &=& 4!+ \frac{ 4!-\sqrt{4} }{\sqrt{4}} \\ 36 &=& ( 4 + 4 ) \cdot 4 +4 \\ 37 &=& 4!+ \frac{ 4!+\sqrt{4} } {\sqrt{4}} \\ 38 &=& 4!+4\cdot 4-\sqrt{4} \\ 39 &=& \Gamma{(4)}^{\sqrt{4}}+ \frac{ \Gamma{(4)} } {\sqrt{4} } \\ 40 &=& 4\cdot 4 \cdot 4 -4! \\ 41 &=& 44 - \frac{ \Gamma{(4)} } { \sqrt{4} } \\ 42 &=& 4!+4!-4-\sqrt{4} \\ 43 &=& 44-\frac{4}{4} \\ 44 &=& 4!+4\cdot 4 +4 \\ 45 &=& \frac{ (\frac{4!}{4} )! } { 4\cdot 4 } \\ 46 &=& 4!+4!-4+\sqrt{4} \\ 47 &=& 4!+4!-\frac44 \\ 48 &=& 4!+4!+4-4 \\ 49 &=& 4!+4!+\frac44 \\ 50 &=& 4!+4!+4-\sqrt{4} \\ 51 &=& 4!+4! + \frac{ \Gamma{(4)} } { \sqrt{4} } \\ 52 &=& 4!+4!+ \sqrt{4}+ \sqrt{4}\\ 53 &=& 4! +4! +4 + \phi{(\phi{(4)})} \\ 54 &=& 4!+4!+4+\sqrt{4} \\ 55 &=& 4! + 4! +4 +\sigma{(\phi(4))} \\ 56 &=& 4!+4!+4+4 \\ 57 &=& ( 4! + 4 ) \cdot \sqrt{4}+ \phi{( \phi{(4)} ) } \\ 58 &=& 4! + \Gamma{(4)} \cdot \Gamma{(4)} -\sqrt{4} \\ 59 &=& ( 4! + 4 ) \cdot \sqrt{4}+\sigma{(\phi(4))} \\ 60 &=& 4\cdot 4 \cdot 4 - 4 \\ \\ \hline \\ \Gamma{(4)} &=& 3! = 6 &\qquad \text{ Verallgemeinerte Fakultaet, auch für reelle Zahlen }\\ 4! &=& 24 \\ \phi{(4)} &=& 2 &\qquad \text{ Eulersche phi-Funktion: Anzahl aller teilerfremden Zahlen }\\ \phi{(2)} &=& 1\\ \sigma{(2)} &=& 1+2 = 3 &\qquad \text { Summe alle Teiler } \end{array} \)

 

laugh

21.09.2015

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