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Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.


crying

 22.09.2015

Beste Antwort 

 #8
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+5

Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.

 

Ich berechne die Pyramide bis zur  Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:

 

Bezeichnungen:

\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)

\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)

 

Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)

\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)

 

Allgemein gilt also:  Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:

\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)

 

Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur  Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.

 

\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)

 

laugh

 23.09.2015
 #1
avatar+14538 
+4

Hallo nana1,

 

bevor ich alle verwendeten Formeln eintippe, gebe ich erst einmal Einzelergebnisse durch.

Vielleicht weißt du ja auch, was herauskommen muss.

Grundkante  a(1) = 12 cm

Seitenkante  s = 10 cm

Körperhöhe  h = 4 cm

 

Grundfläche G = A(1) =374,123 cm²

Kante der Deckfläche  a(2) = 2,8348 cm

Deckfläche  D = A(2) = 7,3651 cm²

Volumen  V = 578,6407 cm³

 

Könntest dich ja noch mal melden und nachfragen, was du noch benötigst.

 

Gruß radix smiley !

 22.09.2015
 #2
avatar+7 
0

Grundfläche und a2 habe ich auch so, aber eine andere Deckfläche.

 22.09.2015
 #3
avatar+14538 
0

Hallo,

habe noch einmal nachgerechnet und wieder  D = A(2) = 7,3651 cm² herausbekommen .

 

\(D=A(2)=\frac{3*a(2)*\sqrt{3}}{2}\)

 

Gruß radiix smiley !

 22.09.2015
 #4
avatar+12515 
0

Hallo radix, ich habe die Aufgabe auch mal gerechnet. Ich glaube,Du hast bei a2 das Quadrieren vergessen.Soll ich sie mal schicken?

 22.09.2015
 #5
avatar+14538 
0

Guten Abend Omi,

das wäre sehr nett !

Bitte korrigiere meine Antwort.

Es bedankt sich

radix smiley !

 22.09.2015
 #6
avatar+12515 
+5

Hallo radix, hier meine Rechnung:

 22.09.2015
 #7
avatar+14538 
+4

Guten Abend Omi,

vielen Dank für deine ausführlichen Berechnungen.

Bis auf das Volumen habe ich nun auch deine Werte,

Nach mehrmaligem Rechnen komme ich immer zu diesem Ergebnis\(V=644,5113cm³\)

 

Gruß radix und eine gute Nacht  smiley !

 22.09.2015
 #8
avatar+26287 
+5
Beste Antwort

Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.

 

Ich berechne die Pyramide bis zur  Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:

 

Bezeichnungen:

\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)

\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)

 

Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)

\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)

 

Allgemein gilt also:  Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:

\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)

 

Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur  Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.

 

\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)

 

laugh

heureka 23.09.2015
 #9
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+4

Das System läßt eine Korrektur nicht mehr zu, wenn man einmal das System verlassen hat.

 

Ich muss meine Formel zur Berechnung des Volumens einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide dahingehend einschränken.

Sie gilt nur in diesem Fall, wenn die Neigung der Pyramide \(\frac{h}{s}=\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) ist.

 

\(\small{ \boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}_{h=4,s=10}} = \frac{a^3}{\sqrt{7}} ~} \text{ gilt nur in unserem Fall mit unseren Zahlen } h = 4 \text{ und } s=10 }\)

 

laugh

 23.09.2015
bearbeitet von heureka  23.09.2015
 #10
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+4

Juhu, ich habe meinen Fehler gefunden. Das lässt mir keine Ruhe, bis ich den Fehler gefunden habe.

laughlaughlaugh

 23.09.2015

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