Berechne das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Pyramidenstumpfes mit den Grundkante a= 12cm, der Seitenkante s=10 cm und der Körperhöhe h=4 cm.
Ich berechne die Pyramide bis zur Spitze und ziehe die Pyramide über dem Pyramidenstumpf wieder ab und erhalte somit das Volumen vom Pyramidenstumpf:
Bezeichnungen:
\(V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} = 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H)\)
\(G=\frac{a\cdot a\sin{(\alpha)}}{2} \qquad | \qquad \sin{(\alpha)} = \sin{(60^{\circ} )} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \mathbf{G = \frac{a^2}{4}\sqrt{3}}\)
Strahlensatz: \(x^2+h^2=s^2 \quad \rightarrow x = \sqrt{10^2-4^2}\\ \mathbf{x = \sqrt{84}} \\\\ \frac{x}{4} = \frac{a}{H}\\ H = \frac{4a}{x}\\ \mathbf{H = \frac{4a}{\sqrt{84}}}\)
\(\begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramide bis zur Spitze}} &=& 6\cdot (\frac13\cdot G\cdot H) \\ &=& 6\cdot (\frac13 \frac{a^2}{4} \sqrt{3} \cdot \frac{4a} {\sqrt{84}}) \\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ \sqrt{84}}\\ &=& \frac{a^3\cdot 2\sqrt{3}}{ 2\sqrt{3}\sqrt{7}}\\ &=& \frac{a^3} {\sqrt{7}} \end{array}\)
Allgemein gilt also: Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide lautet:
\(\boxed{~ V_{\text{regelmäßige sechseckige Pyramide}}=\frac{a^3}{\sqrt{7}} ~ } \qquad \text{wobei } a \text{ die Grundkante ist}\)
Das Volumen des Pyramidenstumpfes berechnet sich nun aus der Differenz zweier regelmäßiger sechseckiger Pyramiden. Die Pyramide bis zur Spitze und die Pyramide über dem Pyramidenstumpf.
\(\small{ \begin{array}{rcl} V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{a^3}{\sqrt{7}}-\frac{a_2^3}{\sqrt{7}} \\ \text{Grundkante der Pyramide auf dem Pyramidenstumpf bis zur Spitze } a_2 &=& a-x=12-\sqrt{84}\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{12^3}{\sqrt{7}}-\frac{(12-\sqrt{84})^3}{\sqrt{7}} \\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \left[ 12^3-(12-\sqrt{84})^3 \right]\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} ( 1728 - 22.7818828056)\\ V_{\text{Pyramidenstumpf}} &=& \frac{1}{\sqrt{7}} (1705.21811719 )\\ \mathbf{V_{\text{Pyramidenstumpf}}} & \mathbf{=} & \mathbf{ 644.511867031 }\\ \end{array} }\)
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