Flächeninhalt und Umfang der eingeschlossenen Fläche berechnen?
y1 = -x+1
y2 =-1/2*x-1
y3 = 2*x+4
Gegebene Geradengleichungen der Form y = mx + b oder y - mx = b
$$\small{\text{$
\begin{array}{llll}
(1) & y = -x+1 & m_1 = -1 & b_1 = 1 \\
(2) & y = -\frac{1}{2}x-1 & m_2 = -\frac{1}{2} & b_2 = -1 \\
(3) & y = 2x+4 & m_3 = 2 & b_3 = 4 \\
\end{array}
$}}$$
I. Berechnung der Schnittpunkte:
1. Schnitt $$\small{\text{$S_1$}}$$ Gerade (1) mit Gerade (2 ):
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
1\cdot y_s - m_1 \cdot x_s &=& b_1 \\
1\cdot y_s - m_2 \cdot x_s &=& b_2 \\
\\
\hline
\\
y_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} b_1 & -m_1\\ b_2 &-m_2 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_1\\ 1 &-m_2 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & -(-1)\\ -1 & -(-\frac{1}{2}) \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -(-1)\\ 1 & -(-\frac{1}{2}) \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ -1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ 1\cdot \frac{1}{2} - (-1)\cdot 1 }
{ 1\cdot \frac{1}{2} - 1\cdot 1 }
=\dfrac
{ \frac{1}{2} + 1 }
{ \frac{1}{2} - 1 }
=\dfrac
{ \frac{3}{2} }
{ -\frac{1}{2} }
= -3\\\\
x_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & b_1\\ 1 & b_2 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_1\\ 1 &-m_2 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -(-1)\\ 1 & -(-\frac{1}{2}) \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & \frac{1}{2} \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ 1\cdot (-1) - 1\cdot 1 }
{ 1\cdot \frac{1}{2} - 1\cdot 1 }
=\dfrac
{ -1-1 }
{ \frac{1}{2} - 1 }
=\dfrac
{ -2 }
{ -\frac{1}{2} }
= 4
\end{array}
$}}$$
2. Schnitt $$\small{\text{$S_2$}}$$ Gerade (2) mit Gerade (3):
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
1\cdot y_s - m_2 \cdot x_s &=& b_2 \\
1\cdot y_s - m_3 \cdot x_s &=& b_3 \\
\\
\hline
\\
y_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} b_2 & -m_2\\ b_3 &-m_3 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_2\\ 1 &-m_3 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} -1 & -\frac{1}{2}\\ 4 & 2\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -(-\frac{1}{2})\\ 1 & -2\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} -1 & -\frac{1}{2}\\ 4 & 2\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -2\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ -1\cdot 2 - 4 \cdot(- \frac{1}{2}) }
{ 1\cdot (- 2) - 1 \cdot \frac{1}{2} }
=\dfrac
{ -2+2}
{ -2 - \frac{1}{2} }
=\dfrac
{ 0 }
{ -\frac{5}{2} }
= 0\\\\
x_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & b_2\\ 1 & b_3 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_2\\ 1 &-m_3 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 4\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -(-\frac{1}{2})\\ 1 & -2\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 1 & 4\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & -2\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ 1\cdot 4 - 1\cdot (- 1) }
{ 1\cdot (- 2) - 1 \cdot \frac{1}{2} }
=\dfrac
{ 4+1 }
{ -2 - \frac{1}{2} }
=\dfrac
{ 5 }
{ -\frac{5}{2} }
= -2
\end{array}
$}}$$
3. Schnitt $$\small{\text{$S_3$}}$$ Gerade (3) mit Gerade (1):
$$\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
1\cdot y_s - m_3 \cdot x_s &=& b_3 \\
1\cdot y_s - m_1 \cdot x_s &=& b_1 \\
\\
\hline
\\
y_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} b_3 & -m_3\\ b_1 &-m_1 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_3\\ 1 &-m_1 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 1 & -(-1)\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 1 & -(-1)\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ 4\cdot 1 - 1 \cdot (-2) }
{ 1\cdot 1 - 1 \cdot (-2) }
=\dfrac
{ 4+2}
{ 1+2 }
=\dfrac
{ 6 }
{ 3 }
= 2\\\\
x_s = \dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & b_3\\ 1 & b_1 \end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -m_3\\ 1 &-m_1 \end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 1 & 1\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 1 & -(-1)\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 1 & 1\end{vmatrix}
}
{\begin{vmatrix} 1 & -2\\ 1 & 1\end{vmatrix}
}
=\dfrac
{ 1\cdot 1 - 1\cdot 4 }
{ 1\cdot 1 - 1 \cdot (-2) }
=\dfrac
{ 1-4 }
{ 1+2 }
=\dfrac
{ -3 }
{ 3 }
= -1
\end{array}
$}}$$
Die 3 Schnittpunkte zusammengefasst:
$$\small{\text{$
\begin{array}{|l|r|c|}
\hline
& x & y \\
\hline
S_1 &4 & -3 \\
S_2 &-2 & 0 \\
S_3 &-1 & 2 \\
\hline
\end{array}
$}}$$
Die Strecke von $$\small{\text{$S_1 $ nach $ S_2$}}$$:
$$\small{\text{$ \begin{array}{lrc} \overline{S_1S_2} =\sqrt{ [(4)-(-2)]^2 + [0-(-3)]^2 } =\sqrt{ 6^2 + 3^2 } =\sqrt{ 36 + 9 } =\sqrt{ 45 } =6,70820393250 \end{array} $}}$$
Die Strecke von $$\small{\text{$S_2 $ nach $ S_3$}}$$:
$$\small{\text{$ \begin{array}{lrc} \overline{S_2S_3} =\sqrt{ [(-1)-(-2)]^2 + (2-0)^2 } =\sqrt{ (-1+2)^2 + 2^2 } =\sqrt{ 1^2 + 4 } =\sqrt{ 5 } =2.23606797750 \end{array} $}}$$
Die Strecke von $$\small{\text{$S_3 $ nach $ S_1$}}$$:
$$\small{\text{$ \begin{array}{lrc} \overline{S_2S_3} =\sqrt{ [4-(-1)]^2 + (-3-2)^2 } =\sqrt{ (4+1)^2 + (-5)^2 } =\sqrt{ 5^2 + 5^2 } =\sqrt{ 50 } =7.07106781187 \end{array} $}}$$
Der Umfang der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt: $$\small{\text{$\overline{S_1S_2}+\overline{S_2S_3}+\overline{S_2S_3} =6,70820393250+2,23606797750+7,07106781187 =16,0153397219 $}}$$
Die Fläche des Dreiecks nach Heron:
$$\small{\text{$
\boxed{~~ A =\sqrt{ s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)} \qquad
s = (a + b + c)/2 ~~}
$}}\\\\
\small{\text{$
\begin{array}{lcl}
a= \overline{S_1S_2} = 6,70820393250\\
b= \overline{S_2S_3} = 2,23606797750\\
c= \overline{S_3S_1} = 7,07106781187 \\\\
s = \dfrac{16,0153397219}{2}= 8,00766986093\\
\end{array}
$}}\\\\\\
\small{\text{$
\begin{array}{lcl}
A =\sqrt{ 8,00766986093\cdot(8,00766986093-6,70820393250)\cdot(8,00766986093-2,23606797750)\cdot(8,00766986093-7,07106781187)}\\
A =\sqrt{ 8,00766986093\cdot 1,29946592843 \cdot 5,77160188343\cdot 0,93660204906}\\
A =\sqrt{ 56.2499999994 }\\
A=7,5
\end{array}
$}}\\\\$$
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt 7,5
Probe der Fläche:
$$\small{\text{$ \begin{array}{|l|r|c|} \hline & x & y \\ \hline S_1 &4 & -3 \\ S_2 &-2 & 0 \\ S_3 &-1 & 2 \\ \hline \end{array}
$}}\\\\
\small{\text{$
\boxed{
~~
A = \dfrac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x_{s_1} & x_{s_2} & x_{s_3} \\
y_{s_1} & y_{s_2} & y_{s_3} \\
\end{vmatrix}
~~
}
$}}\\\\
\small{\text{$
\begin{array}{rcl}
A &=&\dfrac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
4 & -2 & -1 \\
-3 & 0 & 2 \\
\end{vmatrix} \\\\
&=&\frac{1}{2} \cdot
[ 1\cdot (-2) \cdot 2 + 4\cdot 0 \cdot 1 + (-3)\cdot 1 \cdot (-1)
- (-3)\cdot (-2) \cdot 1 - 0\cdot (-1) \cdot 1 - 4\cdot 1 \cdot 2
]\\\\
&=&\frac{1}{2} \cdot
[ 1\cdot (-2) \cdot 2 + (-3)\cdot 1 \cdot (-1)
- (-3)\cdot (-2) \cdot 1 - 4\cdot 1 \cdot 2
]\\\\
&=&\frac{1}{2} \cdot
[ -4 + 3 - 6 \cdot 1 - 8]\\\\
&=&\frac{1}{2} \cdot
[ -15 ]\\\\
&=& - 7,5 \\\\
|A| &=& 7,5 \qquad \mathrm{okay}
\end{array}
$}}$$
.
+14538 
!
