Flächeninhalt und Umfang der eingeschlossenen Fläche berechnen?
y1 = -x+1
y2 =-1/2*x-1
y3 = 2*x+4
Flächeninhalt und Umfang der eingeschlossenen Fläche berechnen?
y1 = -x+1
y2 =-1/2*x-1
y3 = 2*x+4
Gegebene Geradengleichungen der Form y = mx + b oder y - mx = b
(1)y=−x+1m1=−1b1=1(2)y=−12x−1m2=−12b2=−1(3)y=2x+4m3=2b3=4
I. Berechnung der Schnittpunkte:
1. Schnitt S1 Gerade (1) mit Gerade (2 ):
1⋅ys−m1⋅xs=b11⋅ys−m2⋅xs=b2ys=|b1−m1b2−m2||1−m11−m2|=|1−(−1)−1−(−12)||1−(−1)1−(−12)|=|11−112||11112|=1⋅12−(−1)⋅11⋅12−1⋅1=12+112−1=32−12=−3xs=|1b11b2||1−m11−m2|=|111−1||1−(−1)1−(−12)|=|111−1||11112|=1⋅(−1)−1⋅11⋅12−1⋅1=−1−112−1=−2−12=4
2. Schnitt S2 Gerade (2) mit Gerade (3):
1⋅ys−m2⋅xs=b21⋅ys−m3⋅xs=b3ys=|b2−m2b3−m3||1−m21−m3|=|−1−1242||1−(−12)1−2|=|−1−1242||1121−2|=−1⋅2−4⋅(−12)1⋅(−2)−1⋅12=−2+2−2−12=0−52=0xs=|1b21b3||1−m21−m3|=|1−114||1−(−12)1−2|=|1−114||1121−2|=1⋅4−1⋅(−1)1⋅(−2)−1⋅12=4+1−2−12=5−52=−2
3. Schnitt S3 Gerade (3) mit Gerade (1):
1⋅ys−m3⋅xs=b31⋅ys−m1⋅xs=b1ys=|b3−m3b1−m1||1−m31−m1|=|4−21−(−1)||1−21−(−1)|=|4−211||1−211|=4⋅1−1⋅(−2)1⋅1−1⋅(−2)=4+21+2=63=2xs=|1b31b1||1−m31−m1|=|1411||1−21−(−1)|=|1411||1−211|=1⋅1−1⋅41⋅1−1⋅(−2)=1−41+2=−33=−1
Die 3 Schnittpunkte zusammengefasst:
xyS14−3S2−20S3−12
Die Strecke von S1 nach S2:
¯S1S2=√[(4)−(−2)]2+[0−(−3)]2=√62+32=√36+9=√45=6,70820393250
Die Strecke von S2 nach S3:
¯S2S3=√[(−1)−(−2)]2+(2−0)2=√(−1+2)2+22=√12+4=√5=2.23606797750
Die Strecke von S3 nach S1:
¯S2S3=√[4−(−1)]2+(−3−2)2=√(4+1)2+(−5)2=√52+52=√50=7.07106781187
Der Umfang der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt: ¯S1S2+¯S2S3+¯S2S3=6,70820393250+2,23606797750+7,07106781187=16,0153397219
Die Fläche des Dreiecks nach Heron:
A=√s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)s=(a+b+c)/2 a=¯S1S2=6,70820393250b=¯S2S3=2,23606797750c=¯S3S1=7,07106781187s=16,01533972192=8,00766986093A=√8,00766986093⋅(8,00766986093−6,70820393250)⋅(8,00766986093−2,23606797750)⋅(8,00766986093−7,07106781187)A=√8,00766986093⋅1,29946592843⋅5,77160188343⋅0,93660204906A=√56.2499999994A=7,5
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt 7,5
Probe der Fläche:
xyS14−3S2−20S3−12 A=12⋅|111xs1xs2xs3ys1ys2ys3| A=12⋅|1114−2−1−302|=12⋅[1⋅(−2)⋅2+4⋅0⋅1+(−3)⋅1⋅(−1)−(−3)⋅(−2)⋅1−0⋅(−1)⋅1−4⋅1⋅2]=12⋅[1⋅(−2)⋅2+(−3)⋅1⋅(−1)−(−3)⋅(−2)⋅1−4⋅1⋅2]=12⋅[−4+3−6⋅1−8]=12⋅[−15]=−7,5|A|=7,5okay
Erstmal würde ich die Schnittpunkte berechnen:
solve→y,x(y=−x+1y=12×x−1)⇒{y=−13x=43}⇒{y=−0.3333333333333333x=1.3333333333333333}
solve→y,x(y=12×x−1y=2×x+4)⇒{y=−83x=−103}⇒{y=−2.6666666666666667x=−3.3333333333333333}
solve→y,x(y=2×x+4y=−x+1)⇒{y=2x=−1}
Lasst mich nachdenken...
Nun zum Umfang:
P(y1/y2)=(4/3;-1/3)
P(y2/y3)=(-10/3;-8/3)
P(y3/y1)=(-1/2)
Strecke=√[x2−x1]2+[y2−y1]2
Umfang = Strecke P(y1/y2) P(y2/y3) + Strecke P(y2/y3) P(y3/y1) + Strecke P(y3/y1) P(y1/y2) =
Umfang=√[(43)+(103)]2+[−(13)+(83)]2+√[−(103)+(1)]2+[−(83)−(2)]2+√[−(1)−(43)]2+[(2)+(13)]2⇒Umfang=13.7348155405362396
Schaut bitte mal drüber ob alles stimmt.
Nun zur Fläche:
Flaeche=14×√[a2+b2+c2]2−2×[a4+b4+c4]
a = Strecke P(y1/y2) P(y2/y3) = √[(43)+(103)]2+[−(13)+(83)]2
b = Strecke P(y2/y3) P(y3/y1) = √[−(103)+(1)]2+[−(83)−(2)]2
C = Strecke P(y3/y1) P(y1/y2) = √[−(1)−(43)]2+[(2)+(13)]2
Ach die Formel will einfach nicht, sie sollte so aussehen:
Flaeche = 1/4*sqrt([(sqrt([(4/3)-(-10/3)]^2+[(-1/3)-(-8/3)]^2)^2)+(sqrt([(-10/3)-(-1)]^2+[(-8/3)-(2)]^2)^2)+(sqrt([(-1)-(4/3)]^2+[(2)-(-1/3)]^2)^2)]^2-2[(sqrt([(4/3)-(-10/3)]^2+[(-1/3)-(-8/3)]^2)^4)+(sqrt([(-10/3)-(-1)]^2+[(-8/3)-(2)]^2)^4)+(sqrt([(-1)-(4/3)]^2+[(2)-(-1/3)]^2)^4)])
Flächeninhalt und Umfang der eingeschlossenen Fläche berechnen?
y1 = -x+1
y2 =-1/2*x-1
y3 = 2*x+4
Gegebene Geradengleichungen der Form y = mx + b oder y - mx = b
(1)y=−x+1m1=−1b1=1(2)y=−12x−1m2=−12b2=−1(3)y=2x+4m3=2b3=4
I. Berechnung der Schnittpunkte:
1. Schnitt S1 Gerade (1) mit Gerade (2 ):
1⋅ys−m1⋅xs=b11⋅ys−m2⋅xs=b2ys=|b1−m1b2−m2||1−m11−m2|=|1−(−1)−1−(−12)||1−(−1)1−(−12)|=|11−112||11112|=1⋅12−(−1)⋅11⋅12−1⋅1=12+112−1=32−12=−3xs=|1b11b2||1−m11−m2|=|111−1||1−(−1)1−(−12)|=|111−1||11112|=1⋅(−1)−1⋅11⋅12−1⋅1=−1−112−1=−2−12=4
2. Schnitt S2 Gerade (2) mit Gerade (3):
1⋅ys−m2⋅xs=b21⋅ys−m3⋅xs=b3ys=|b2−m2b3−m3||1−m21−m3|=|−1−1242||1−(−12)1−2|=|−1−1242||1121−2|=−1⋅2−4⋅(−12)1⋅(−2)−1⋅12=−2+2−2−12=0−52=0xs=|1b21b3||1−m21−m3|=|1−114||1−(−12)1−2|=|1−114||1121−2|=1⋅4−1⋅(−1)1⋅(−2)−1⋅12=4+1−2−12=5−52=−2
3. Schnitt S3 Gerade (3) mit Gerade (1):
1⋅ys−m3⋅xs=b31⋅ys−m1⋅xs=b1ys=|b3−m3b1−m1||1−m31−m1|=|4−21−(−1)||1−21−(−1)|=|4−211||1−211|=4⋅1−1⋅(−2)1⋅1−1⋅(−2)=4+21+2=63=2xs=|1b31b1||1−m31−m1|=|1411||1−21−(−1)|=|1411||1−211|=1⋅1−1⋅41⋅1−1⋅(−2)=1−41+2=−33=−1
Die 3 Schnittpunkte zusammengefasst:
xyS14−3S2−20S3−12
Die Strecke von S1 nach S2:
¯S1S2=√[(4)−(−2)]2+[0−(−3)]2=√62+32=√36+9=√45=6,70820393250
Die Strecke von S2 nach S3:
¯S2S3=√[(−1)−(−2)]2+(2−0)2=√(−1+2)2+22=√12+4=√5=2.23606797750
Die Strecke von S3 nach S1:
¯S2S3=√[4−(−1)]2+(−3−2)2=√(4+1)2+(−5)2=√52+52=√50=7.07106781187
Der Umfang der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt: ¯S1S2+¯S2S3+¯S2S3=6,70820393250+2,23606797750+7,07106781187=16,0153397219
Die Fläche des Dreiecks nach Heron:
A=√s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)s=(a+b+c)/2 a=¯S1S2=6,70820393250b=¯S2S3=2,23606797750c=¯S3S1=7,07106781187s=16,01533972192=8,00766986093A=√8,00766986093⋅(8,00766986093−6,70820393250)⋅(8,00766986093−2,23606797750)⋅(8,00766986093−7,07106781187)A=√8,00766986093⋅1,29946592843⋅5,77160188343⋅0,93660204906A=√56.2499999994A=7,5
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ( Dreieck) beträgt 7,5
Probe der Fläche:
xyS14−3S2−20S3−12 A=12⋅|111xs1xs2xs3ys1ys2ys3| A=12⋅|1114−2−1−302|=12⋅[1⋅(−2)⋅2+4⋅0⋅1+(−3)⋅1⋅(−1)−(−3)⋅(−2)⋅1−0⋅(−1)⋅1−4⋅1⋅2]=12⋅[1⋅(−2)⋅2+(−3)⋅1⋅(−1)−(−3)⋅(−2)⋅1−4⋅1⋅2]=12⋅[−4+3−6⋅1−8]=12⋅[−15]=−7,5|A|=7,5okay
Danke Heureka für die Korrektur. (Habe ein Minuszeichen in der zweiten Gleichung übersehen.)
In der Klasse 10 ober 11 rechnet man übrigens so:
F=12×([x1×(y2−y3)]+[x2×(y3−y1)]+[x3×(y1−y2)])
Flaeche=|12×([4×(0−2)]−[2×(2+3)]−[1×(−3+0)])|⇒Flaeche=7.5
Die Fläche A eines Dreiecks mit Determinante berechnen:
Gegeben sind drei Punkte :
S1(x1|y1)=(4|−3)S2(x2|y2)=(−2|0)S3(x3|y3)=(−1|2)
xyS1x1=4y1=−3S2x2=−2y2=0S3x3=−1y3=2
A=12⋅|x1y11x2y21x3y31|
Auflösung nach der 1. Spalte:
A=12⋅|x1y11x2y21x3y31|=12⋅(x1⋅|y21y31|−x2⋅|y11y31|+x3⋅|y11y21|)=12⋅( [ x1⋅(y2−y3) ]−[ x2⋅(y1−y3) ]+[ x3⋅(y1−y2) ] )=12⋅( [ x1⋅(y2−y3) ]+[ x2⋅(y3−y1) ]+[ x3⋅(y1−y2) ] )=12⋅( [ 4⋅(0−2) ]−[ 2⋅(2−(−3)) ]−[ 1⋅(−3−0) ] )=12⋅( [ 4⋅(−2) ]−[ 2⋅(2+3)) ]−[ 1⋅(−3) ] )=12⋅( −8−10+3 )=−7,5A=7,5
Auflösung nach der 2. Spalte:
A=12⋅|x1y11x2y21x3y31|=12⋅(−y1⋅|x21x31|+y2⋅|x11x31|−y3⋅|x11x21|)=12⋅( −[ y1⋅(x2−x3) ]+[ y2⋅(x1−x3) ]−[ y3⋅(x1−x2) ] )=12⋅( [ y1⋅(x3−x2) ]+[ y2⋅(x1−x3) ]+[ y3⋅(x2−x1) ] )=12⋅( [ −3⋅(−1−(−2)) ]+[ 0⋅(4−(−1)) ]+[ 2⋅(−2−4) ] )=12⋅( [ −3⋅1 ]+[ 2⋅(−6) ] )=12⋅( −3−12 )=12⋅( −15 )=−7,5A=7,5