Funktion: 4x^6 + 4x^3 - 3
Er größte Exponent ist $$x^\textcolor[rgb]{1,0,0}{6}$$.
Also hat diese Funktion $$\textcolor[rgb]{1,0,0}{6}$$ Lösungen
Wir substitution $$z = x^3$$
$$4z^2+4z-3=0$$
Für z erhalten wir:
$$z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+3\cdot 16 }}{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4\cdot 16}}{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm (2\cdot 4) }{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm 8 }{8} \\
z_{1,2}=\frac{-1\pm 2 }{2} \\
z_{1,2}=-\frac{1 }{2}\pm 1 \\\\
\small{\text{
$
\boxed{
z_{1}=-\frac{1 }{2} + 1 = \frac{1 }{2}\qquad
z_{2}=-\frac{1 }{2} - 1 = -\frac{3 }{2} }
$
}}$$
$$\small{\text{$\boxed{x=\sqrt[3]{z}}$ F\"ur die 3. Wurzel erhalten wir 3 L\"osungen. }}$$
Für $$z_1$$ erhalten wir 3 Lösungen:
$$x_1= \sqrt[3]{ \frac{1}{2} } = 0.79370052598 \quad \small{\text{ reelle L\"osung (reelle Wurzel)}}\\x_2= -\sqrt[3]{ -\frac{1}{2} } \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\x_3= \frac{(-1)^{\frac{2}{3}} } {\sqrt[3]{2 }} \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\$$
Für $$z_2$$ erhalten wir 3 Lösungen:
$$x_4= -\sqrt[3]{ \frac{3}{2} } = -1.14471424255 \quad \small{\text{ reelle L\"osung (reelle Wurzel)}}\\x_5= \sqrt[3]{ -\frac{3}{2} } \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\x_6= - (-1)^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{ \frac{3}{2} }\quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\$$
Die Wurzeln in der komplexen Ebene:
Plot:
!
