Burgbrunnen
abwärts: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 \quad | \quad g=9.81\ \frac{m}{s^2}$$
aufwärts: $$s=ct_2\quad | \quad c=331,5\ \frac{m}{s}$$
gleichsetzen: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 = ct_2\quad | \quad t_1+t_2=t \qquad t=6,52s$$
t1 ersetzen durch t2: $$\frac{g}{2}(t-t_2)^2 = ct_2 \quad | \quad t_1 = t - t_2$$
Konstante k definieren: $$(t-t_2)^2=2*k*t_2 \quad | \quad k = \frac{c}{g}[s]=\frac{331,5
[\frac{m}{s}]
}
{
9,81
[\frac{m}{s^2}]
} = 33,7920489297s$$
nach t2 auflösen: $$\begin{array}{rcl}
t^2-2tt_2+t_2^2 &=& 2kt_2\\
t_2^2-2t_2(t+k)+t^2 &=& 0\\
t_2 &=& t+k\pm\sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1=t-t_2\\
t-t_2=t_1 &=& -k\mp \sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1 \;muss \;\ge 0 \;sein! \;Vorzeichen \ + \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{(t+k)^2-t^2} \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{\not{t^2}+2tk+k^2-\not{t^2}}
\end{array}$$
$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\boxed{
\textcolor[rgb]{0,0,0}{
t_1 = -k+ \sqrt{k(k+2t)}
}
}
}$$
Lösung: $$t_1=5,98924\ s$$
$$t_2=t-t_1=0,53076\ s$$
$$s=ct_2=175,9472\ m$$
Der Brunnen ist 175,9472 m tief.
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