+0  
 
+5
801
6
avatar+8844 

Auf einer Burg in einem Gebirge in Thüringen wirft an einem Wintertag (0°C) ein Kind einen Stein in einen Brunnen. Der Stein fällt ohne die Schachtwände zu berühren nach unten. Nach 6,52 Sekunden auf der Stoppuhr hört das Kind das Platschen des Steins auf der Wasseroberfläche. Der Schall braucht bei 0°C für 331,5 m Weg eine Sekunde.

Wie tief ist der Brunnen?

Eine Frage für Teilnehmer, die das Fallgesetz kennen und eine quadratische Gleichung lösen können.

Viel Spaß wünscht asinus  :- )

 03.09.2014

Beste Antwort 

 #4
avatar+23878 
+5

Burgbrunnen

abwärts:  $$s=\frac{g}{2}t_1^2 \quad | \quad g=9.81\ \frac{m}{s^2}$$ 

aufwärts: $$s=ct_2\quad | \quad c=331,5\ \frac{m}{s}$$  

gleichsetzen: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 = ct_2\quad | \quad t_1+t_2=t \qquad t=6,52s$$

t1 ersetzen durch t2: $$\frac{g}{2}(t-t_2)^2 = ct_2 \quad | \quad t_1 = t - t_2$$

Konstante k definieren: $$(t-t_2)^2=2*k*t_2 \quad | \quad k = \frac{c}{g}[s]=\frac{331,5
[\frac{m}{s}]
}
{
9,81
[\frac{m}{s^2}]
} = 33,7920489297s$$

nach t2 auflösen: $$\begin{array}{rcl}
t^2-2tt_2+t_2^2 &=& 2kt_2\\
t_2^2-2t_2(t+k)+t^2 &=& 0\\
t_2 &=& t+k\pm\sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1=t-t_2\\
t-t_2=t_1 &=& -k\mp \sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1 \;muss \;\ge 0 \;sein! \;Vorzeichen \ + \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{(t+k)^2-t^2} \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{\not{t^2}+2tk+k^2-\not{t^2}}
\end{array}$$

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\boxed{
\textcolor[rgb]{0,0,0}{
t_1 = -k+ \sqrt{k(k+2t)}
}
}
}$$

Lösung: $$t_1=5,98924\ s$$

$$t_2=t-t_1=0,53076\ s$$

$$s=ct_2=175,9472\ m$$

Der Brunnen ist 175,9472 m tief.

 04.09.2014
 #1
avatar+14537 
0

Hallo asinus,

meine richtige Antwort findest du nun im Nachrichtenzentrum!

Gruß radix !

Hier noch eine Zusatzinformation zum Burgbrunnen aus dem Internet:

http://www.harzlife.de/harzrand/kyffhausen-burgbrunnen.html

 03.09.2014
 #2
avatar+8844 
0

Hallo radix,

nun zeige uns bitte aber auch hier im Forum die richtige Lösung.

Es handelt sich im übrigen um den Burgbrunnen auf dem Kyffhäuser.

Gruß asinus :- )

 04.09.2014
 #3
avatar+14537 
+5

Hallo asinus,

hier nun die Antwort auf deine wirklich interessante Brunnenfrage ! Ich schreibe aber nur die beiden "Formeln" und die Werte !

1.)   0,5*9,81*t² = 331,5*(6,52-t)     -> t = 5,98924 [s]

2.)    t  eingesetzt in   s = g/2*t²      ->   s = 9,81/2*5,98924² =

                                                                          = 175,947.... [m]

Der Brunnen in Thüringen ist also  knappe  176 m tief .

 

Gruß radix !

 04.09.2014
 #4
avatar+23878 
+5
Beste Antwort

Burgbrunnen

abwärts:  $$s=\frac{g}{2}t_1^2 \quad | \quad g=9.81\ \frac{m}{s^2}$$ 

aufwärts: $$s=ct_2\quad | \quad c=331,5\ \frac{m}{s}$$  

gleichsetzen: $$s=\frac{g}{2}t_1^2 = ct_2\quad | \quad t_1+t_2=t \qquad t=6,52s$$

t1 ersetzen durch t2: $$\frac{g}{2}(t-t_2)^2 = ct_2 \quad | \quad t_1 = t - t_2$$

Konstante k definieren: $$(t-t_2)^2=2*k*t_2 \quad | \quad k = \frac{c}{g}[s]=\frac{331,5
[\frac{m}{s}]
}
{
9,81
[\frac{m}{s^2}]
} = 33,7920489297s$$

nach t2 auflösen: $$\begin{array}{rcl}
t^2-2tt_2+t_2^2 &=& 2kt_2\\
t_2^2-2t_2(t+k)+t^2 &=& 0\\
t_2 &=& t+k\pm\sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1=t-t_2\\
t-t_2=t_1 &=& -k\mp \sqrt{(t+k)^2-t^2} \quad | \quad t_1 \;muss \;\ge 0 \;sein! \;Vorzeichen \ + \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{(t+k)^2-t^2} \\
t_1 &=& -k+ \sqrt{\not{t^2}+2tk+k^2-\not{t^2}}
\end{array}$$

$$\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\boxed{
\textcolor[rgb]{0,0,0}{
t_1 = -k+ \sqrt{k(k+2t)}
}
}
}$$

Lösung: $$t_1=5,98924\ s$$

$$t_2=t-t_1=0,53076\ s$$

$$s=ct_2=175,9472\ m$$

Der Brunnen ist 175,9472 m tief.

heureka 04.09.2014
 #5
avatar+8844 
0

 

Danke radix, danke heureka !

Gruß von asinus :- )

 04.09.2014
 #6
avatar+8844 
0

Hallo radix,

danke für den Kyffhäuser-Link. Ich war schon dort.

Gruß asinus :- )

 08.09.2014

14 Benutzer online

avatar