99=9*11, wir benutzen die Teilbarkeitsregeln für 9 und 11. Ich geb' sie kurz an:
(1) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
(2) Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende (!) Quersumme durch 11 teilbar ist.
(Ein Beispiel zur alternierenden Quersumme: Bei 351956 ist die alternierende Quersumme 3-5+1-9+5-6=-11, das ist durch 11 teilbar, also ist 351956 durch 11 teilbar.)
Da A ein Vielfaches von 99 ist, ist die Quersumme wegen (1) schonmal mindestens 9. Ist sie größer als 9, so ist sie mindestens 18 - wir müssen also nur den Fall Quersumme=9 ausschließen.
Angenommen, die Quersumme von A wäre 9. Dann müsste die alternierende Quersumme eine Zahl zwischen 9 und -9 sein, die wegen (2) durch 11 teilbar sein muss. Das würde bedeuten, dass die alternierende Quersumme 0 ist. Das kann nur der Fall sein, wenn der "Plus-Anteil" und der "Minus-Anteil" der alternierenden Quersumme beide gerade oder beide ungerade sind. Wäre das der Fall, wäre aber die Quersumme sicher eine gerade Zahl. Die Quersumme ist aber 9 - ein Widerspruch!
Die Quersumme kann also nicht 9 sein, ist aber ein Vielfaches von 9 - daher ist sie mindestens 18.
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