+0  
 
0
42
4
avatar+63 

Die positive ganze Zahl A sei ein Vielfaches von 99.

 

Man zeige, dass die Quersumme von A mindestens 18 beträgt.

 07.10.2021

Beste Antwort 

 #3
avatar+2591 
+2

99=9*11, wir benutzen die Teilbarkeitsregeln für 9 und 11. Ich geb' sie kurz an:

(1) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

(2) Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende (!) Quersumme durch 11 teilbar ist. 

(Ein Beispiel zur alternierenden Quersumme: Bei 351956 ist die alternierende Quersumme 3-5+1-9+5-6=-11, das ist durch 11 teilbar, also ist 351956 durch 11 teilbar.)

 

Da A ein Vielfaches von 99 ist, ist die Quersumme wegen (1) schonmal mindestens 9. Ist sie größer als 9, so ist sie mindestens 18 - wir müssen also nur den Fall Quersumme=9 ausschließen.

Angenommen, die Quersumme von A wäre 9. Dann müsste die alternierende Quersumme eine Zahl zwischen 9 und -9 sein, die wegen (2) durch 11 teilbar sein muss. Das würde bedeuten, dass die alternierende Quersumme 0 ist. Das kann nur der Fall sein, wenn der "Plus-Anteil" und der "Minus-Anteil" der alternierenden Quersumme beide gerade oder beide ungerade sind. Wäre das der Fall, wäre aber die Quersumme sicher eine gerade Zahl. Die Quersumme ist aber 9 - ein Widerspruch!

Die Quersumme kann also nicht 9 sein, ist aber ein Vielfaches von 9 - daher ist sie mindestens 18.

 08.10.2021
 #1
avatar+12422 
+1

Die positive ganze Zahl A sei ein Vielfaches von 99.

Man zeige, dass die Quersumme von A mindestens 18 beträgt.

 

Hallo lakaka!

 

\(A\in \{\mathbb N_{>0}\times99\}=\{99, 198,297,396,495,...\}\)

\(A\ ist\ die\ Menge\ des\ 99fachen\ aller\ Nat\ddot urlichen\ Zahlen\ ohne\ Null.\)

\(Die\ Quersumme\ ist\ immer\ \geqq18.\)

laugh  !

 08.10.2021
bearbeitet von asinus  08.10.2021
 #2
avatar+2591 
0

Aber warum? :D "Die Aussage stimmt, weil die Aussage stimmt." ist noch kein Beweis ;)

Probolobo  08.10.2021
 #3
avatar+2591 
+2
Beste Antwort

99=9*11, wir benutzen die Teilbarkeitsregeln für 9 und 11. Ich geb' sie kurz an:

(1) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

(2) Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende (!) Quersumme durch 11 teilbar ist. 

(Ein Beispiel zur alternierenden Quersumme: Bei 351956 ist die alternierende Quersumme 3-5+1-9+5-6=-11, das ist durch 11 teilbar, also ist 351956 durch 11 teilbar.)

 

Da A ein Vielfaches von 99 ist, ist die Quersumme wegen (1) schonmal mindestens 9. Ist sie größer als 9, so ist sie mindestens 18 - wir müssen also nur den Fall Quersumme=9 ausschließen.

Angenommen, die Quersumme von A wäre 9. Dann müsste die alternierende Quersumme eine Zahl zwischen 9 und -9 sein, die wegen (2) durch 11 teilbar sein muss. Das würde bedeuten, dass die alternierende Quersumme 0 ist. Das kann nur der Fall sein, wenn der "Plus-Anteil" und der "Minus-Anteil" der alternierenden Quersumme beide gerade oder beide ungerade sind. Wäre das der Fall, wäre aber die Quersumme sicher eine gerade Zahl. Die Quersumme ist aber 9 - ein Widerspruch!

Die Quersumme kann also nicht 9 sein, ist aber ein Vielfaches von 9 - daher ist sie mindestens 18.

Probolobo 08.10.2021
 #4
avatar+12422 
+1

q.e.d.    Sehr gut!

laugh  !

asinus  08.10.2021

23 Benutzer online