Ich schick mal voraus, dass ich kein Mathematiker bin, aber wenn ich mir die Gleichungen ansehe glaube ich, folgende Antworten geben zu können:
Bezüglich der ersten Gleichung f(x):
Wenn b = 0 ist, fällt x³ komplett raus. Übrig bleibt eine Gerade, die weder Maxima noch Minima hat, weder lokal noch global.
Antwort a lautet also: für b = 0 existiert kein lokales Minimum
Mathematisch dargestellt kannst Du ja auch die beiden ersten Ableitungen bilden, und kommst dann auf:
f'(x) = 3bx² + c
f''(x) = 6bx
Die hinreichende Bedingung für den Wert der 2ten Ableitung an einer Extremstelle wäre ja, dass die 2te Ableitung ungleich 0 ist. Das kann nicht passieren, wenn b = 0 ist, denn dann ist f''(x) immer 0.
Man kann sich jetzt die Frage stellen, ob für b > 0 ein lokales Minimum denkbar ist. Wenn b > 0 ist, muss man die f'(x) = 0 setzen:
\(0 = f'(x)\)
\(0 = 3bx^2 + c |-c\)
\(-c = 3bx^2| \div{3b}\)
\(\frac{-c}{3b}= x^2| \sqrt{}\)
\(\sqrt{\frac{-c}{3b}} = x\)
Das heißt, in Abhängigkeit von den Konstanten b und c ergeben sich Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung für Extremstellen) immer bei \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\).
In der Folge kann es bei b = 0 keine Extremstellen geben, denn dann würde der Nenner von \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) = 0 und der Term somit ungültig werden.
b darf laut Definition ja nur 0 oder größer 0 sein. c darf Element der Reelen Zahlen sein, also größer oder kleiner oder gleich 0. Wenn c = 0 ist und b > 0, ergibt sich eine Nullstelle der ersten Ableitung bei 0, somit wäre dann die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei
b>0, c=0 gegeben.
Da wir ein Minimum suchen, müsste an dieser Stelle f''(x) > 0 gelten (hinreichende Bedingung für ein Minimum).
\(f''(\sqrt{\frac{-0}{3b}}) = 6b\sqrt{\frac{-0}{3b}}\)
Da der Term unter der Wurzel für b > 0 und c = 0 auch 0 wird, handelt es sich nicht um eine Extremstelle, sondern muss eine Wendestelle sein. Da man sich denken kann, dass die dritte Ableitung als Term nur noch 6b enthält, ist klar, dass es sich um einen Sattelpunkt handeln muss, wenn b > 0 gilt.
Nun kann man sich die Frage stellen, was passiert, wenn b > 0 und c > 0 gilt.
Antwort: dann gibt es keine Extremstellen, da dann \(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) ungültig ist.
-c geteilt durch 3b wird immer negativ, und aus negativen Zahlen kann man die Quadratwurzel nicht ziehen, da es keine Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt.
Letzte Frage zu dieser Funktion: was passiert, wenn b > 0 und c < 0 gilt ?
Dann wird die notwendige Bedingung für Extremstellen erfüllt, und zwar bei +\(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\) und -\(\sqrt{\frac{-c}{3b}}\)
Wenn ich nämlich die Quadratwurzel ziehe, ergibt sich immer ein positiver und ein negativer Wert.
Frage: wird auch die hinreichende Bedingung erfüllt ?
\(f''(\sqrt{\frac{-c}{3b}}) = 6b*(+\sqrt{\frac{-c}{3b}})\)
Dies muss für \(6b*(+\sqrt{\frac{-c}{3b}})\) einen positiven Wert ergeben, somit befindet sich an dieser Stelle ein lokales Minimum.
Nun der zweite Wert: \(-\sqrt{\frac{-c}{3b}}\)
\(f''(\sqrt{\frac{-c}{3b}}) = 6b*(-\sqrt{\frac{-c}{3b}})\)
Hier wird sich für f''(x) ein negativer Wert ergeben, somit befindet sich an dieser Stelle ein lokales Maximum.
Eine Situation, wo diese Funktion 2 lokale Minima hat, kann ich mir nicht vorstellen. Für b > 0 und c >= 0 läuft sie für x > 0 in die positive Unendlichkeit, und für x < 0 in die negative Unendlichkeit, weil der höchste Exponent ungerade ist und Vorzeichen somit erhalten bleiben.
Somit kann es bei dieser Funktion niemals globale Maxima oder Minima geben.
Das war die erste Funktion. Bei der 2ten Funktion bin ich mir nicht sicher, ob die richtig ist. Steht im Exponenten über me "r*r*x" ?
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