In Knecht Ruprechts Keller stehen sechs versiegelte Flaschen, die alle völlig gleich ausssehen. Drei der Flaschen enthalten guten Apfelwein und die anderen drei Flaschen enthalten hochgiftigen Stechapfelsaft. Ruprechts Magische Apfelwein-Test-Maschine (MATM) hat drei Fächer, einen großen Knopf und eine Glühbirne. Wenn man in jedes der drei Fächer eine Flasche stellt und danach auf den Knopf drückt, beginnt die MATM zu arbeiten. Eine Stunde später leuchtet dann die Glühbirne rot oder grün auf: Leuchtet sie grün, so enthalten alle drei Flaschen guten Apfelwein. Leuchtet sie rot, dann ist in höchstens zwei der drei Flaschen Apfelwein.
Knecht Ruprecht möchte dem Weihnachtsmann eine Flasche Apfelwein schenken. Wie oft muss er die MATM im schlimmsten Fall benutzen, um garantiert eine Flasche Apfelwein zu identifizieren?
+15000 6 versiegelte Flaschen, die alle völlig gleich ausssehen. 3 der Flaschen enthalten guten Apfelwein A und die anderen 3 Flaschen enthalten hochgiftigen Stechapfelsaft S. 3 Fächer einer MATM werden rein zufällig mit 3 von den Flaschen beladen.
a) Wie wahrscheinlich ist es, dass sich3 Flaschen Apfelwein in den 3 Fächern befinden. Dann leuchtet die Glühbirne der MATM grün. Anderfalls leuchtet sie rot.
b) Wie oft müssen die 3 Fächer geladen werden, damit mit Sicherheit eine Flasche Apfelwein identifiziert wird?
Hi Gast!
Es gibt 8 Möglichkeiten, die Flaschen in die Fächer der MATM zu laden:
S | S | S | S | A | A | A | A
S | S | A | A | S | S | A | A
S | A | S | A | S | A | S | A
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche Apfelwein bei einer MATM-Probe identifiziert wird, ist 1 : 8.
b) Leider kann Knecht Ruprecht noch so oft testen, es gibt keine totale Sicherheit dafür, dass keine Flasche Stechapfelsaft an den Weihnachtsmann verschenkt werden kann.
!
Wer zeigt uns die exakte mathematische Lösung? Ich bin sehr interresiert.
+301 Ich meine, dass das eine Aufgabe aus einem Fach namens Kombinatorik ist.
Man stellt das zunächst so dar:
\(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right)\)
Das bedeutet, dass es 6 Elemente gibt, von denen jeweils 3 zusammengefasst werden.
Man kann das dann mit folgender Formel für
\(\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)\)
lösen:
\(\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \)
Mit der Formel berechnet man die Anzahl der unterschiedlichen Möglichtkeiten, aus n Elementen Gruppen mit k Elementen zusammenzufassen.
Mit den hier gegebenen Zahlen:
\(\left(\begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array}\right) = \frac{6!}{3!*(6-3)!} = 20 \)
Das bedeutet, dass es 20 verschiedene Möglichkeiten gibt, jeweils 3 der 6 Flaschen zu einer Gruppe zusammenzufassen. Wenn Knecht Ruprecht jetzt aufpasst und sich genau merkt, welche der 6 Flaschen er schon kombiniert hat, müsste er schlimmstenfalls 20 Versuche starten, bis er alle Kombinationen durch hat und somit die eine gefunden hat, bei der alle drei in die Maschine eingelgten Falschen Apfelwein enthalten.
+15000 Hallo Trotzdem!
Ich sehe nur diese 8 Möglichkeiten, die Flaschen in die 3 Fächer zu laden.
Fach 1 S | S | S | S | A | A | A | A
Fach 2 S | S | A | A | S | S | A | A
Fach 3 S | A | S | A | S | A | S | A
Möglichkeit 1 2 3 4 5 6 7 8
Nur bei Anordnung 8 leuchtet die grüne Glühbirne.
Kannst Du mir eine weitere Anordnung zeigen?
Gruß
!
+301 Es gibt 6 Flaschen, ich nenne sie 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Die Maschine prüft jeweils, ob alle 3 eingelegten Flaschen Apfelwein sind, wenn das so ist, leuchtet die Lampe grün. Wenn sie rot leuchtet, sind folglich eine, zwei oder 3 Flaschen mit Gift gefüllt.
Dies sind die 20 Möglichkeiten, die Flaschen in die Maschine einzulegen:
01. |1|2|3|-|-|-|
02. |1|2|-|4|-|-|
03. |1|2|-|-|5|-|
04. |1|2|-|-|-|6|
05. |1|-|3|4|-|-|
06. |1|-|3|-|5|-|
07. |1|-|3|-|-|6|
08. |1|-|-|4|5|-|
09. |1|-|-|4|-|6|
10. |1|-|-|-|5|6|
11. |-|2|3|4|-|-|
12. |-|2|3|-|5|-|
13. |-|2|3|-|-|6|
14. |-|2|-|4|5|-|
15. |-|2|-|4|-|6|
16. |-|2|-|-|5|6|
17. |-|-|3|4|5|-|
18. |-|-|3|4|-|6|
19. |-|-|3|-|5|6|
20. |-|-|-|4|5|6|
Ich gehe davon aus, dass die Flaschen zwar gleich aussehen, aber man kann sie ja zum Beispiel in einer Reihe aufstellen und nach diesem Schema vorgehen.
Dann muss man maximal 20 Versuche machen, bis die Lampe grün leuchtet und man sich einen trinken kann :D
+15000 OK. Durch die Zuordnung der sechs Flaschen an einem bestimmten Standort sind die Flaschen unterscheidbar gemacht worden. Dann hätte Knecht Ruprecht spätestens nach 20 Stunden plus 20 mal laden und entladen drei Flaschen guten Apfelwein in der Hand.
Danke an Trotzdem für die intelligente Lösung!
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+301 Hallo tatsächlich war meine Antwort nur halb richtig, also insgesamt falsch.
Einige der hier in letzter Zeit geposteten Aufgaben scheinen von dieser Seite zu stammen:
https://www.mathekalender.de/index.php?page=calendar
Da wurde dann auch die korrekte Lösung für diese Aufgabe gepostet.
Tatsächlich kann man in 10 Versuchen eine "gute" Flasche finden.
Man muss nur eine zufällige Flasche nehmen und mit den verbleibenden 5 Flaschen das machen, was ich oben gemacht habe.
Entweder leuchtet dann die Lampe bei einem der 10 Versuche grün oder nicht. Leuchtet sie nicht grün, muss die separierte Flasche gut sein.
Leuchtet die Lampe bei einem Versuch grün, dann hat man die 3 guten Flaschen gefunden und die separierte Flasche muss schlecht sein.
Die Schlittenaufgabe und die Kuchenaufgabe sind da auch her.
