
Die Klammern lassen sich mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lösen. Und das geht so:
(2n+1)²=1*(2n)^3*1^0+3*(2n)^2*1^1+3*(2n)^1*1^2+1*(2n)^0*1^3
vereinfacht sieht das dann so aus:
(2n+1)³ = (2n)³+3*(2n)²+3*(2n)+1
(2n+1)³= 8n³+12n²+6n+1
(2m+1)³= 8m³+12m²+6m+1
8n³+12n²+6n+1=3*(8m³+12m²+6m+1)
8n³+12n²+6n+1=24m³+36m²+18m+3
8n³+12n²+6n-24m³-36m²-18m =2
4*(2n³+3n²+1,5n-6m³-12m²-4,5m)=2 |:2
2*(2n³+3n²+1,5n-6m³-12m²-4,5m) =1
Die Annahme war, die 3. Wurzel aus 3 ist rational
Die linke Seite ist gerade. Eine Zahl, die mit 2 multipliziert wird, ist immer gerade. Die rechte Seite ist ungerade.
Das ist ein Widerspruch. Somit ist bewiesen, dass die 3. Wurzel aus 3 irrational ist.
q.e.d