MIt Kosinussatz rechnen aber wie? Gegeben: a:6,30 cm;Alpha:68 grad ; Gamma:82 grad. Gesucht: b und c

     Gruß Omi67

Hallo anonymous,

der Cosinussatz kann als Erweiterung des Satzes von Pythagoras c²=a²+b² für das schiefwinkliche  Dreieck angesehen werden.

a² = b² + c² - 2bc * cos alpha

Bei deiner Aufgabe sind 2 Winkel (und damit der dritte) und eine Seite gegeben.

Hier läßt sich der Sinussatz anwenden.

sin alpha / a = sin gamma / c

c = a * sin gamma / sin alpha

c = 6,30cm * sin82° / sin 68°

c = 6,73cm

Die Seite b könntest du mit dem Cosinussatz berechnen. Es geht aber mit dem Sinussatz bequemer.

b / sin beta = a / sin alpha        beta = 180 ° - 82° - 68° = 30°

b = 6,30cm * sin 30° / sin 68°

b = 3,40cm

Der Cosinussatz soll auch noch zu seinem Recht kommen.

b = √(a² + c² - 2ac * cos beta) 

b = √(6,3² + 6,728642² - 2 * 6,3 * 6,728642 * cos30°)

b = √11,542

b = 3,40cm

Gruß asinus :- )

Hallo Anonymous,

mit dem Kosinussatz kannst du zunächst nichts berechnen:

gegeben:   Alpha = 68°  ;  Gamma = 82°   =>  Beta = 180° - 68° - 82° = 30°

                   a = 6,3      alle Seitenlängen in  cm

Sinussatz:   $${\frac{{\mathtt{b}}}{{\mathtt{a}}}} = {\frac{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{\beta}}\right)}}{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{\alpha}}\right)}}}$$         =>  b =      $${\frac{{\mathtt{6.3}}{\mathtt{\,\times\,}}\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{30}}^\circ\right)}}{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{68}}^\circ\right)}}} = {\mathtt{3.397\: \!384\: \!439\: \!433\: \!608\: \!8}}$$ 

Sinussatz:  $${\frac{{\mathtt{c}}}{{\mathtt{a}}}} = {\frac{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{\gamma}}\right)}}{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{\alpha}}\right)}}}$$          =>    c =   $${\frac{{\mathtt{6.3}}{\mathtt{\,\times\,}}\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{82}}^\circ\right)}}{\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{sin}}{\left({\mathtt{68}}^\circ\right)}}} = {\mathtt{6.728\: \!642\: \!655\: \!224\: \!084\: \!2}}$$

Seite  b mit dem Kosinussatz:  b² = a²+c²-2*a*c*cos (Beta)

b= $${\sqrt{{{\mathtt{6.3}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{{\mathtt{6.728\: \!6}}}^{{\mathtt{2}}}{\mathtt{\,-\,}}{\mathtt{2}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{6.3}}{\mathtt{\,\times\,}}{\mathtt{6.728\: \!6}}{\mathtt{\,\times\,}}\underset{\,\,\,\,^{\textcolor[rgb]{0.66,0.66,0.66}{360^\circ}}}{{cos}}{\left({\mathtt{30}}^\circ\right)}}} = {\mathtt{3.397\: \!368\: \!460\: \!742\: \!390\: \!2}}$$

Mit dem Sinusatz bekommst du die Ergebnisse einfacher !

Gruß radix !

Hallo Omi67,

in deiner letzten Berechnung steckt noch ein Fehler:

In der vorletzten Zeile fehlt  der Faktor  2   !! (  - 2 * 6.3*.....)

Die Seite  c  ist  n i c h t  6,95 cm , sondern  6,728642... cm  lang.

Omi67 hat sich mittlerweile korrigiert !

Gruß radix ! ( DANKE )