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Wie beweist man, dass die Kubikwurzel aus 3 irrational ist? für die wurzel aus 3 weiß ich es, nur nicht für die kubikwurzel.

$${\sqrt[{{\mathtt{3}}}]{{\mathtt{3}}}} = {\frac{{\mathtt{a}}}{{\mathtt{b}}}}$$

$${\mathtt{3}} = {\frac{{{\mathtt{a}}}^{{\mathtt{3}}}}{{{\mathtt{b}}}^{{\mathtt{3}}}}}$$        |x$${{\mathtt{b}}}^{{\mathtt{3}}}$$

$${{\mathtt{a}}}^{{\mathtt{3}}} = {\mathtt{3}}{\mathtt{\,\times\,}}{{\mathtt{b}}}^{{\mathtt{3}}}$$

dann geht man davon aus, dass a und b ungerade sind, da sonst beide nicht teilerfremd wären. und setzt m,n element Z und damit a und b ungerade sind:

a = 2n+1

b = 2m+1

eingesetzt:

$${\left({\mathtt{2}}{n}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{1}}\right)}^{{\mathtt{3}}} = {\mathtt{3}}{\mathtt{\,\times\,}}{\left({\mathtt{2}}{m}{\mathtt{\,\small\textbf+\,}}{\mathtt{1}}\right)}^{{\mathtt{3}}}$$

weiter komm ich nur leider nicht.

 19.11.2014

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 #2
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Ich hatte vergessen, mich anzumelden. Ich hoffe, dass es so richtig ist. Es wäre schön, wenn ich eine Rückmeldung bekommen würde. Ich hoffe auch, dass Du das mit dem Pascalschen Dreieck verstanden hast.

Gruß Omi67

Übrigens: es muss 9m² heißen und nicht 12m² -hab mich vertan

 19.11.2014
 #1
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Die Klammern lassen sich mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks lösen. Und das geht so:

(2n+1)²=1*(2n)^3*1^0+3*(2n)^2*1^1+3*(2n)^1*1^2+1*(2n)^0*1^3

vereinfacht sieht das dann so aus:

(2n+1)³ = (2n)³+3*(2n)²+3*(2n)+1

(2n+1)³= 8n³+12n²+6n+1

(2m+1)³= 8m³+12m²+6m+1

8n³+12n²+6n+1=3*(8m³+12m²+6m+1)

8n³+12n²+6n+1=24m³+36m²+18m+3

8n³+12n²+6n-24m³-36m²-18m =2

4*(2n³+3n²+1,5n-6m³-12m²-4,5m)=2 |:2

2*(2n³+3n²+1,5n-6m³-12m²-4,5m) =1

Die Annahme war, die 3. Wurzel aus 3 ist rational

Die linke Seite ist gerade. Eine Zahl, die mit 2 multipliziert wird, ist immer gerade. Die rechte Seite ist ungerade.

Das ist ein Widerspruch. Somit ist bewiesen, dass die 3. Wurzel aus 3 irrational ist.

q.e.d

 19.11.2014
 #2
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Ich hatte vergessen, mich anzumelden. Ich hoffe, dass es so richtig ist. Es wäre schön, wenn ich eine Rückmeldung bekommen würde. Ich hoffe auch, dass Du das mit dem Pascalschen Dreieck verstanden hast.

Gruß Omi67

Übrigens: es muss 9m² heißen und nicht 12m² -hab mich vertan

Omi67 19.11.2014

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