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Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. Geben Sie Ihre Begründungen an.

 

(i) an\((2-(\frac{2}{3}){}^{n})*\frac{n+1}{n}\)

 

(ii) bn\(\frac{4n^3-(-1)^nn^2}{5n+2n^3}\)

 

(iii) cn\(\frac{n-2^n}{5^n+3n^2}\)

 

(iv) dn\((-1)^n\frac{2n^2+3n}{n^3+7n^2} \)

 

Könnte mir jemand helfen? Und vielleicht auch nochmal das mit Folgen, Grenzwert und Konvergenz erklären? Ich verstehe das Thema nicht wirklich

 12.01.2022
 #1
avatar+3181 
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Erstmal gibt's ein bisschen was allgemeines, danach kümmern wir uns um deine Aufgaben:

Was eine Folge ist, ist vermutlich noch klar - nämlich einfach unendlich viele Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge sortiert sind. Man kann sich das auch als einen unendlich langen Vektor vorstellen.

So ist zB. die Folge definiert durch an = n einfach die Folge aller natürlichen Zahlen, denn a1=1, a2=2 usw.

Wenn diese Zahlen nun immer näher an einen bestimmten Wert kommen, so nennt man diesen Wert "Grenzwert" der Folge. Der ist zunächst so definiert:

\(G \ \ Grenzwert \ \ von \ \ (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \ \Leftrightarrow \ \forall \epsilon \in \mathbb{R} \ \exists N \in \mathbb{N} : |a_n-G|<\epsilon \ wenn \ n>N\)

Das bedeutet in Worten: Egal wie klein ich die Grenze Epsilon wähle - es gibt immer eine natürliche Zahl N, sodass die Folgenglieder ab dem N-ten Folgenglied näher als Epsilon am Grenzwert dran sind.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Die oben definierte Folge der natürlichen Zahlen zB. hat keinen Grenzwert. Die Folge definiert durch bn=1/n dagegen hat einen Grenzwert, nämlich 0. Damit eine Folge konvergiert, muss sie ihren Grenzwert nicht zwingend erreichen, sie kann das aber tun. Man könnte zB. eine Folge definieren durch 

c1=5; c2=10; c3=3; cn=1 für alle Zahlen n>3

Diese Folge konvergiert gegen 1, denn sie ist ab dem vierten Folgenglied einfach konstant 1.

 

Konvergenz nachzuweisen kann schwierig sein, da gibt's allerhand Sätze, die hilfreich sein können. Vielleicht kannst du da auch mal in deinem Vorlesungs-Skript nachschauen, welche Werkzeuge ihr zur Verfügung habt.

 12.01.2022
 #2
avatar+3181 
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Nun zu den Aufgaben: Bei den Gegebenen Folgen kann man viel mit Intuition regeln würde ich sagen. Inwiefern die folgenden Argumentationen bei euch als Nachweis genügen ist aus der Ferne schwer zu beurteilen.

 

Ich fang mal mit (i) an:

Die Folge konvergiert, denn: Der erste Faktor der Folge konvergiert gegen 2, denn \((\frac{2}{3})^n\) konvergiert gegen 0. (letzteres müsste halt schon bekannt sein, zur Not lässt sich's aber gut mit der Definition des Grenzwerts nachweisen. Frag' da gern nochmal nach falls das unklar ist.) Der zweite Faktor konvergiert gegen 1, was man beispielsweise per L'Hospital zeigen kann, falls ihr den schon kennt. Alternativ ist (n+1)/n=1+1/n und 1/n konvergiert gegen 0. 

Und 2*1 ist 2, daher ist der Grenzwert dieser Folge 2.

 

(ii):

Klammert man in Zähler und Nenner jeweils n3 aus, erhält man \(\frac{n^3\cdot (4-\frac{(-1)^n}{n})}{n^3\cdot (2+\frac{5}{n^2})}\). Hier sehen wir: n3 können wir kürzen, in den Klammern geht alles außer 4 bzw. 2 gegen 0. Übrig bleibt also nur 4/2=2, das ist unser Grenzwert.

 

(iii):

Hier sind die Exponential-Teile in Zähler und Nenner die "dominanten" Terme. Man könnte auch hier mit L'Hospital arbeiten. Eventuell ist auch bekannt, dass die Polynom-Teile hier im Grenzwert weggelassen werden können. Der Grenzwert der gegebenen Folge ist dann gleich dem Grenzwert der Folge def. durch \(\hat{c}_n = -\frac{2^n}{5^n} = - ( \frac{2}{5})^n\), und der ist 0 weil 2/5<1 ist.

 

(iv):

Durch Ausklammern von n3 im Bruch wie bei (ii) kann gezeigt werden, dass der Bruch selbst eine Nullfolge (also eine Folge mit Grenzwert 0) ist. (Das schaffst du mittlerweile bestimmt selbst, wenn's nicht klappt frag nochmal ;) ) Der Faktor (-1)n lässt das Vorzeichen alternieren (also abwechselnd + & - ), hat aber auf den Betrag der Terme keinen Einfluss. Daher ändert er auch nichts daran, dass die Folge eine Nullfolge ist - der Grenzwert ist also 0.

 12.01.2022
 #3
avatar+3181 
+1

Falls dir diese Fragestellung übrigens in einer Vorlesung begegnet ist, die du im Rahmen eines nicht wirklich mathematischen Studiengangs hörst (zB. Wirtschaft), kann's gut sein, dass du da auch deutlich unpräziser argumentieren darfst. Falls das der Fall ist sag' Bescheid, dann kann ich eventuell einiges noch auf kompaktere und leichter verständlichere Erklärungen runterbrechen. Abseits der Mathematik-Departments wird mit dem Thema oft recht schlampig umgegangen, das kann dir einiges vereinfachen.

 12.01.2022
 #4
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+1

Vielen Dank für die ausführliche Antwort für mich ist das Thema jetzt verständlicher geworden, dank der guten Erklärung

Gast 13.01.2022
 #5
avatar+3181 
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Freut mich sehr zu hören, danke! :)

Probolobo  13.01.2022
 #6
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Könntest du bitte die iii vielleicht nochmal erklären verstehe nicht wie man dort den ersten Ansatz macht  danke

Gast 13.01.2022
 #7
avatar+3181 
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Klar: Wir machen's Mit L'Hospital. Der sagt uns: Ableiten in Zähler & Nenner verändert den Grenzwert nicht. Ich nehm mal an, dass bekannt ist, dass die Ableitung von an genau ln(a)*an ist, das benutzen wir gleich.

 

Dann gilt:

 

\(lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-2^n}{5^n+3n^2} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1-ln(2)\cdot 2^n}{ln(5)\cdot 5^n+6n} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^2 \cdot 2^n}{ln(5)^2 \cdot 5^n +6} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^3 \cdot 2^n}{ln(5)^3 \cdot 5^n} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-ln(2)^3}{ln(5)^3} \cdot (\frac{2}{5})^n = 0\)

 

Im letzten Schritt ist dann klar, dass der Grenzwert 0 ist, denn der erste Faktor ist eine Konstante, beim zweiten ist (hoffentlich?) bekannt dass er gegen 0 konvergiert.

Probolobo  14.01.2022

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