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Die zweite aufgabe die steht so im buch

Die mit dem Würfel hat Kollege asinus (Grüße gehen raus) vorhin schonmal beantwortet, ich wiederhol's nochmal (sinngemäß):

Ein Würfel hat 6 Seiten, alle haben den gleichen Flächeninhalt.

Wir finden heraus, wie groß die Seiten sind, indem wir den gesamten Oberflächeninhalt durch 6 teilen:

486cm² /6 = 81cm².

Die Seitenlänge s eines Quadrats ist die Wurzel des Flächeninhalts, also ist hier

\(s = \sqrt{81cm^2} = 9cm\).

Der Würfel hat also die Kantenlänge 9cm.

Deine zweite Aufgabe macht so nicht wirklich Sinn - bei einem Quadrat sind Länge&Breite gleich, und einen Rauminhalt hat's nicht, weil ein Quadrat ein zweidimensionales ("flaches") Objekt ist.

500:25=20

Ein Radfahrer fährt 4000meter in 4min und 

18sekunden. Wie schnell fährt er in km/h? 

Hallo Gast!

\(\dfrac{4000\ m}{4\ min+18\ s}=\dfrac{4000\ m}{(240+18)\ s}\cdot \dfrac{km}{1000\ m}\cdot \dfrac{3600\ s}{h}=55,814\ \dfrac{km}{h}\)

  !

wie soll man das jetzt in das heft schreiben brauche auch hilfe bei 486 quadrat cm

Es gilt v=s/t. 

Damit folgt:

\(v = \frac{4000m}{4min +18s} = \frac{4000}{240s+18s}=\frac{4000m}{258s} = \frac{4km}{258 \cdot \frac{1}{3600}h} = \frac{2400}{43}\frac{km}{h} \approx 55,8 \frac{km}{h}\)

Wenn 25 4 mal in die 100 passt musst du nur 4 mal 5 rechnen 

EIN WÜRFEL HAT EINEN OBERFLÄCHENINHALT VON 482 QUADRAT CM . BESTIMME SEINE KANTENLÄNGE.

Hallo Gast!

Die Oberfläche des Würflels besteht aus 6 Flächen.

Eine Fläche hat die Größe von \(A=\frac{482cm^2}{6}=80,\overline 3cm^2\).

Hättest du die Aufgabe richtig abgeschrieben, stünde da:

Eine Fläche hat die Größe von \(A=\frac{486cm^2}{6}=81cm^2\).

Die sechs Fläche sind Quadrate. Die Seitenlänge eines Quadrates erhältst du, indem du die Wurzel ziehst.

81 ist eine Quadratzahl, da geht es im Kopf.

\(a=\sqrt{81cm^2}=9cm\)

  !

Übung macht den Meister ;)

Woher können sie Mathe so gut? Und nochmal vielen Dank

Gleiches Arbeitstempo bedeutet hier, dass die Rasenmäher mit gleicher Geschwindigkeit v geschoben werden.

Die Fläche des Rasens nenne ich A.

Dann ist einerseits

A=32cm * v * 45min

aber auch 

A=48cm * v * t

-> hier nur t, da die Mäh-Zeit beim zweiten Mäher ja unbekannt ist. Da zweimal die gleiche Fläche gemäht werden soll, müssen beide Terme für die Fläche gleich sein:

32cm * v * 45min = 48cm * v * t   |:v

32cm * 45min = 48cm * t    | :48cm

32/48  *45min = t

2/3 * 45min = t

30min = t

Es dauert mit dem zweiten Mäher genau eine halbe Stunde.

4h = 4*60min = 240min.

-> \(\frac{2160l}{240min} \cdot 42min = 378l\)

(Der Bruch = was pro Minute geleert wird)

-> Sie leert 378l in 42min.

Ja das hatten wir, ich einwerfe mich, danke nochmal für die Ergänzung mit dieser Rechenweise. Damit verstehe ich es jetzt noch etwas plausibler! Endlich! :)

Falls ihr natürlich schon "modulo-Rechnung", also Rechnen mit Äquivalenzklassen der Relation "teilbar durch n",  kennt, wirds deutlich leichter:

Dann ist zu zeigen 8n³-2n = 0 mod 3.

Es reicht, das für n=0, n=1 und n=2 zu untersuchen, weil das die einzigen Äquivalenzklassen mod3 sind.

Mit 0 steht da 0=0, das wäre sogar ohne "mod 3" wahr.

Mit n=1 sieht's so aus:

8*1³-2*1 = 8-2 = 6 = 0 mod 3 - passt!

Und mit n=2 passiert folgendes:

8n³-2n = 8*2³-2*2 = 8*8-2*2 = 64-4 = 60 = 0 mod 3 - passt auch!

Mir ist leider nicht bekannt, welche Rechenregeln ihr kennt - beweisen können wir's aber trotzdem:

Ich unterscheide dafür drei Fälle:
Fall 1: n ist ein Vielfaches von 3, also n=3k für eine natürliche Zahl k.

Fall 2: n=3k+1 für eine natürliche Zahl k

Fall 3: n=3k+2 für eine natürliche Zahl k

In Fall1 ists leicht: Wenn n ein Vielfaches von 3 ist, gilt

3 | n -> 3 | 2n

und 3 | n³ -> 3 | 8n³.

Zusammen folgt schon 3 | 8n³-2n.

Fall2: 

8n³-2n = 8 (3k+1)³ -2(3k+1) = 

= 8*(27k³+27k³+9k+1) -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +72k +8 -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +66k +6

Hier sehen wir: 216 und 66 sind Vielfache von 3, daher sind die ersten drei Summanden alle durch 3 teilbar. Weil 6 auch durch 3 teilbar ist, ist die ganze Summe durch 3 teilbar, also folgt 3 | 8n³-2n.

Fall3 sieht ganz ähnlich aus:

8n³-2n = 8*(3k+2)³-2(3k+2) = 

8*(27k³+54k³+36k+8) -6k-4 = 

216k³+432k²+288k+64 -6k -4 = 

216k³+432k²+282k+60

Weil 216, 432 und 282 Vielfache von 3 sind, sind die ersten drei Summanden durch 3 teilbar. Auch 60 ist durch 3 teilbar, daher die ganze Summe und es folgt wieder 3 | 8n³-2n.

Wir haben die Aussage nun für alle drei Fälle bewiesen. Weil jede natürliche Zahl sich entweder als n=3k, n=3k+1 oder n=3k+2 darstellen lässt, sind wir fertig.

Ahhhhh Achso jetzt raffe ich es! :) Danke! :D

Ne, die Klammer fehlt :D 

Er zieht ja den Summanden mit k=n+1 aus der großen Summe - dann ist k=n+1 und k+1=n+2.

Müsste dann an der Stelle "minus" anstelle von "plus" stehen? Hab ich das richtig verstanden? :)

Das "mithilfe der Teilbarkeitsrelation" irritiert mich ein wenig. 

a | b -> a | b²

a | c -> a | c²

Und damit folgt eigentlich direkt die Aussage.

Wenn man's etwas ausführlicher will: 

a | b <=> Es gibt eine Zahl k mit b=k*a.

Das führt zu folgendem:

a | b => b=k*a => b² = k² * a² => Es gibt eine Zahl k' (nämlich k²*a) mit b²=k' * a => a | b²

a | c => c=k*a => c² = k² * a² => Es gibt eine Zahl K (nämlich k²*a) mit c²=K * a => a | c²

=> b²-c² = k' * a - K * a = (k'-K) * a => Es gibt eine Zahl Z (nämlich k'-K) mit b²-c² = Z * a => a | b²-c².

Ich hoff es ist nicht zu unübersichtlich mit den ganzen verschiedenen K-Varianten :D Sind nur leider notwendig, weil ich die ja in der letzten Zeile brauche und daher unterscheiden muss. Das einfache k ist eigentlich auch in jeder Zeile unterschiedlich, aber da ist's egal. Man kann natürlich auch andere Buchstaben anstelle verschiedener K-Varianten nehmen wenn man möchte.