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Die Aufgabe ist noch eine, welche ich nicht verstehe. Oh man.....

Beweisen Sie mithilfe der Rechenregeln für Kongruenzen: Für alle n E N: 3(senkrechter Strich)8n^3 - 2n.

Entschuldigt, wenn es doch garnicht so schwer ist und es an mir liegt, ich versuche es wirklich zu verstehen.... :) Hoffentlich kann mir jemand helfen.

 18.02.2021
 #1
avatar+2425 
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Mir ist leider nicht bekannt, welche Rechenregeln ihr kennt - beweisen können wir's aber trotzdem:

Ich unterscheide dafür drei Fälle:
Fall 1: n ist ein Vielfaches von 3, also n=3k für eine natürliche Zahl k.

Fall 2: n=3k+1 für eine natürliche Zahl k

Fall 3: n=3k+2 für eine natürliche Zahl k

 

In Fall1 ists leicht: Wenn n ein Vielfaches von 3 ist, gilt

3 | n -> 3 | 2n

und 3 | n³ -> 3 | 8n³.

Zusammen folgt schon 3 | 8n³-2n.

 

Fall2: 

8n³-2n = 8 (3k+1)³ -2(3k+1) = 

= 8*(27k³+27k³+9k+1) -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +72k +8 -6k -2 = 

= 216k³ +216k² +66k +6

 

Hier sehen wir: 216 und 66 sind Vielfache von 3, daher sind die ersten drei Summanden alle durch 3 teilbar. Weil 6 auch durch 3 teilbar ist, ist die ganze Summe durch 3 teilbar, also folgt 3 | 8n³-2n.

 

Fall3 sieht ganz ähnlich aus:

8n³-2n = 8*(3k+2)³-2(3k+2) = 

8*(27k³+54k³+36k+8) -6k-4 = 

216k³+432k²+288k+64 -6k -4 = 

216k³+432k²+282k+60

 

Weil 216, 432 und 282 Vielfache von 3 sind, sind die ersten drei Summanden durch 3 teilbar. Auch 60 ist durch 3 teilbar, daher die ganze Summe und es folgt wieder 3 | 8n³-2n.

 

Wir haben die Aussage nun für alle drei Fälle bewiesen. Weil jede natürliche Zahl sich entweder als n=3k, n=3k+1 oder n=3k+2 darstellen lässt, sind wir fertig.

 18.02.2021
 #2
avatar+2425 
+1

Falls ihr natürlich schon "modulo-Rechnung", also Rechnen mit Äquivalenzklassen der Relation "teilbar durch n",  kennt, wirds deutlich leichter:

Dann ist zu zeigen 8n³-2n = 0 mod 3.

Es reicht, das für n=0, n=1 und n=2 zu untersuchen, weil das die einzigen Äquivalenzklassen mod3 sind.

Mit 0 steht da 0=0, das wäre sogar ohne "mod 3" wahr.

Mit n=1 sieht's so aus:

8*1³-2*1 = 8-2 = 6 = 0 mod 3 - passt!

Und mit n=2 passiert folgendes:

8n³-2n = 8*2³-2*2 = 8*8-2*2 = 64-4 = 60 = 0 mod 3 - passt auch!

 18.02.2021
 #3
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Ja das hatten wir, ich einwerfe mich, danke nochmal für die Ergänzung mit dieser Rechenweise. Damit verstehe ich es jetzt noch etwas plausibler! Endlich! :)

 18.02.2021

55 Benutzer online

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