+30 Die Aufgabe ist noch eine, welche ich nicht verstehe. Oh man.....
Beweisen Sie mithilfe der Rechenregeln für Kongruenzen: Für alle n E N: 3(senkrechter Strich)8n^3 - 2n.
Entschuldigt, wenn es doch garnicht so schwer ist und es an mir liegt, ich versuche es wirklich zu verstehen.... :) Hoffentlich kann mir jemand helfen.
+3976 Mir ist leider nicht bekannt, welche Rechenregeln ihr kennt - beweisen können wir's aber trotzdem:
Ich unterscheide dafür drei Fälle:
Fall 1: n ist ein Vielfaches von 3, also n=3k für eine natürliche Zahl k.
Fall 2: n=3k+1 für eine natürliche Zahl k
Fall 3: n=3k+2 für eine natürliche Zahl k
In Fall1 ists leicht: Wenn n ein Vielfaches von 3 ist, gilt
3 | n -> 3 | 2n
und 3 | n³ -> 3 | 8n³.
Zusammen folgt schon 3 | 8n³-2n.
Fall2:
8n³-2n = 8 (3k+1)³ -2(3k+1) =
= 8*(27k³+27k³+9k+1) -6k -2 =
= 216k³ +216k² +72k +8 -6k -2 =
= 216k³ +216k² +66k +6
Hier sehen wir: 216 und 66 sind Vielfache von 3, daher sind die ersten drei Summanden alle durch 3 teilbar. Weil 6 auch durch 3 teilbar ist, ist die ganze Summe durch 3 teilbar, also folgt 3 | 8n³-2n.
Fall3 sieht ganz ähnlich aus:
8n³-2n = 8*(3k+2)³-2(3k+2) =
8*(27k³+54k³+36k+8) -6k-4 =
216k³+432k²+288k+64 -6k -4 =
216k³+432k²+282k+60
Weil 216, 432 und 282 Vielfache von 3 sind, sind die ersten drei Summanden durch 3 teilbar. Auch 60 ist durch 3 teilbar, daher die ganze Summe und es folgt wieder 3 | 8n³-2n.
Wir haben die Aussage nun für alle drei Fälle bewiesen. Weil jede natürliche Zahl sich entweder als n=3k, n=3k+1 oder n=3k+2 darstellen lässt, sind wir fertig.
+3976 Falls ihr natürlich schon "modulo-Rechnung", also Rechnen mit Äquivalenzklassen der Relation "teilbar durch n", kennt, wirds deutlich leichter:
Dann ist zu zeigen 8n³-2n = 0 mod 3.
Es reicht, das für n=0, n=1 und n=2 zu untersuchen, weil das die einzigen Äquivalenzklassen mod3 sind.
Mit 0 steht da 0=0, das wäre sogar ohne "mod 3" wahr.
Mit n=1 sieht's so aus:
8*1³-2*1 = 8-2 = 6 = 0 mod 3 - passt!
Und mit n=2 passiert folgendes:
8n³-2n = 8*2³-2*2 = 8*8-2*2 = 64-4 = 60 = 0 mod 3 - passt auch!
