Die Funktion f ist mit f(x)= 1/3x^3 -x^2 -3x +4 gegeben.
a) Berechne Die Extremstellen von f und gib die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f an.
b) Begründe mit Hilfe von \(f'''(x), \) gemeint ist aber \(f''(x), \) warum es sich um den Hoch- bzw. den Tiefpunkt handelt.
a)
Ein Extrempunkt ist entweder der höchste oder der tiefste Punkt auf einem Intervall des Funktionsgraphen. Handelt es sich um den höchsten Punkt, spricht man von einem Maximum oder Hochpunkt. Geht es um den tiefsten Punkt, handelt es sich um ein Minimum oder einen Tiefpunkt.
Die x-Werte der Nullstellen der 1. Ableitung \(f'(x)\)
sind die x-Werte der Extrema der Funktion \(f(x)\).
\(f(x)= \frac{1}{3}x^3 -x^2 -3x +4\)
\(f'(x)=x^2-2x-3 =0\\ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\\ x=1\pm\sqrt{1^2+3}\\ x=1\pm 2\\ \color{blue}x_1=-1\\ \color{blue}x_2=3\)
\(f(x_1)= \frac{1}{3}x_1^3 -x_1^2 -3x_1 +4\\ f(x_1)= -\frac{1}{3}-1+3+4\\ \color{blue}f(x_1)=5\frac{2}{3}=5,6\overline 6\ Hochpunkt\)
\(f(x_2)=\frac{1}{3}x_2^3 -x_2^2 -3x_2 +4\\ f(x_2)=9-9-9+4\\ \color{blue}f(x_2)=-5\ Tiefpunkt\)
b)
Die 2. Ableitung gibt die Änderung der Steigung an. Sie gibt also Auskunft über die Krümmung des Graphen. Ist f''(x) > 0, wird die Steigung größer. Die Kurve ist daher linksgekrümmt (positiv gekrümmt, konvex).
\(f'(x)=x^2-2x-3 =0\\ \color{blue}f''(x)=2x-2\\ f''(x_1)=2x_1-2=2\cdot(-1)-2\\ \color{blue}f''(x_1)=-4\\ die\ Steigung\ von\ f\ ist\ hier\ \color{blue}0\ und\ fallend: Hochpunkt\\ f''(x_2)=2x_2-2=2\cdot 3-2\\ \color{blue}f''(x_2)=4\\ die\ Steigung\ von\ f\ ist\ \color{blue}hier\ 0\ und\ steigend:\ Tiefpunkt\)
Ist f''(x) = 0 und f'''(x) \( \neq\) 0 hat die Funktion f an dieser Stelle einen Wendepunkt.
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